Percorsi geometrici è boschi

Mentre scrivia stu articulu, aghju ricurdatu di una canzona assai vechja di Jan Pietrzak, chì hà cantatu prima di a so attività satirica in u cabaret Pod Egidą, ricunnisciutu in a Republica Pupulare Polacca cum'è una valvula di salvezza; si pudia onestamente ride di i paradossi di u sistema. In sta canzona, l'autore ricumandò a participazione pulitica sucialista, ridiculendu quelli chì volenu esse apolitichi è spegne a radiu in u ghjurnale. "Hè megliu di vultà à a lettura di a scola," Petshak, allora di XNUMX anni, cantava ironicu.

Vulteraghju à a scola lettura. Rileghje (micca per a prima volta) u libru di Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Per pochi lettori, a parolla stessa dice qualcosa. Questu hè u nome di a figliola di u famosu matematicu indù cunnisciutu cum'è Bhaskara (1114-1185), chjamatu Akaria, o u saviu chì hà intitulatu u so libru in algebra cù questu nome. Lilavati diventò più tardi un matimàticu è filòsufu rinumatu. Sicondu altre fonti, era ella chì hà scrittu u libru stessu.

Szczepan Yelensky hà datu u stessu titulu à u so libru di matematica (prima edizione, 1926). Pò esse ancu difficiuli di chjamà stu libru un travagliu matematicu - era più di un inseme di puzziche, è largamente riscritti da fonti francesi (i diritti d'autore in u sensu mudernu ùn esistevanu micca). In ogni casu, per parechji anni era l'unicu libru polaccu populari nantu à a matematica - più tardi u secondu libru di Jelensky, i Dolci di Pitagora, hè aghjuntu à questu. Allora i ghjovani interessati à a matematica (chì hè esattamente ciò chì era una volta) ùn avianu nunda da sceglie ...

d'altronde, « Lilavati » avia da cunnosce guasi à core... Ah, ci era tempi... U so vantaghju maiò era ch'e eru... adulescente tandu. Oghje, da u puntu di vista di un matematicu ben educatu, mi fighjulà à Lilavati in un modu completamente diversu - forsi cum'è un scalatore nantu à e curve di a strada di Shpiglasova Pshelench. Nè l'unu nè l'altru perde u so incantu ... In u so stilu caratteristicu, Shchepan Yelensky, chì professa l'idee chjamate naziunali in a so vita persunale, scrive in a prefazione:

Senza toccu à a descrizzione di e caratteristiche naziunali, diceraghju chì ancu dopu à novanta anni, e parolle di Yelensky nantu à a matematica ùn anu micca persu a so rilevanza. A matematica vi insegna à pensà. Hè un fattu. Pudemu insignà à pensà di manera diversa, più simplice è più bella ? Pò esse. Hè solu... ùn pudemu micca sempre. Spiega à i mo studienti chì ùn volenu micca fà matematica chì questu hè ancu una prova di a so intelligenza. Se ùn pudete micca amparà a teoria matematica veramente simplice, allora ... forse e vostre capacità mentali sò peggiu di ciò chì vuleriamu tramindui ...?

Segni in a sabbia

È quì hè a prima storia in "Lylavati" - una storia discritta da u filòsufu francese Joseph de Maistre (1753-1821).

Un marinaru da una nave naufragata hè stata lanciata da l'onde nantu à una riva viota, ch'ellu hà cunsideratu disabitata. Di colpu, in a sabbia di a costa, hà vistu una traccia di una figura geomètrica disegnata davanti à qualchissia. Hè tandu ch’ellu s’hè avvistu chì l’isula ùn hè micca deserta !

Citant de Mestri, Yelensky scrive: figura geometricaSaria statu una spressione muta per u disgraziatu, naufragiu, cuincidenza, ma li mostra d’un sguardu proporzione è numeru, è questu annunziava un omu illuminatu. Tantu per a storia.

Innota chì un marinaru pruvucarà a stessa reazione, per esempiu, disegnu a lettera K, ... è qualsiasi altre traccia di a presenza di una persona. Quì a geometria hè idealizzata.

In ogni casu, l'astrònomu Camille Flammarion (1847-1925) hà prupostu chì e civilisazioni si salutanu da una distanza cù a geometria. Vide in questu l'unicu tentativu currettu è pussibule di cumunicazione. Dimustremu à tali Marziani i trianguli pitagorici ... ci risponderanu cù Thales, li risponderemu cù mudelli Vieta, u so cerculu si mette in un triangulu, cusì cuminciò una amicizia ...

Scrittori cum'è Jules Verne è Stanislav Lem tornanu à sta idea. È in u 1972, i tile cù mudelli geomettichi (è micca solu) sò stati posti à bordu di a sonda Pioneer, chì sempre traversa i spazii di u spaziu, avà quasi 140 unità astronomichi da noi (1 I hè a distanza media di a Terra da a Terra) . Sun, vale à dì, circa 149 milioni di km). U tile hè statu cuncepitu, in parte, da l'astrònomu Frank Drake, creatore di a regula cuntruversa nantu à u numeru di civilisazioni extraterrestri.

A geometria hè stupente. Tutti sapemu u puntu di vista generale nantu à l'urìgine di sta scienza. Noi (noi umani) avemu principiatu à misurà a terra (è più tardi a terra) per i scopi più utilitarii. Determinà e distanze, tracendu linee dritte, marcà anguli dritti è calculà volumi gradualmente diventenu una necessità. Da quì tuttu geometria ("Misurazione di a terra"), dunque tutte e matematiche ...

Tuttavia, per qualchì tempu, sta stampa chjara di a storia di a scienza ci hà annebbiatu. Perchè se a matematica era necessaria solu per scopi operativi, ùn sariamu micca impegnati à pruvà teoremi simplici. "Vidite chì questu deve esse veru in tuttu", unu dicia dopu avè verificatu chì in parechji trianguli rettanguli a somma di i quadrati di l'ipotenuse hè uguali à u quadru di l'ipotenusa. Perchè un tali formalismu?

A torta di prugna deve esse diliziosa, u prugramma di l'urdinatore hà da travaglià, a macchina hà da travaglià. Se aghju cuntatu a capacità di a canna trenta volte è tuttu hè in ordine, allora perchè altru?

Intantu, i Grechi antichi si sò avvistu chì qualchì evidenza formale avia bisognu di truvà.

Allora, a matematica principia cù Thales (625-547 aC). Hè presumitu chì era Mileto chì hà cuminciatu à dumandassi perchè. Ùn hè micca abbastanza per e persone intelligenti chì anu vistu qualcosa, chì sò cunvinti di qualcosa. Anu vistu a necessità di prova, una sequenza logica di argumenti da l'assunzione à a tesi.

Ne vulianu ancu di più. Hè prubabilmente Thales chì prima pruvò à spiegà i fenomeni fisichi in modu naturalisticu, senza intervenzione divina. A filusufìa europea principia cù a filusufìa di a natura - cù ciò chì hè digià daretu à a fisica (da quì u nome: metafisica). Ma i fundamenti di l'ontulugia europea è a filusufìa naturale sò stati posti da i pitagorici (Pythagoras, c. 580-c. 500 aC).

Hà fundatu a so propria scola in Crotone in u sudu di a penisula appenninica - oghje a chjameremu una setta. A scienza (in u sensu attuale di a parolla), a mistica, a religione è a fantasia sò tutti strettamente intrecciati. Thomas Mann hà assai bellu prisentatu e lezioni di matematica in un gymnasium tedesca in u rumanzu Doctor Faustus. Tradottu da Maria Kuretskaya è Witold Virpsha, stu fragmentu leghje:

In u libru interessante di Charles van Doren, A Storia di a Cunniscenza da l'Alba di a Storia à l'Oghje, aghju trovu un puntu di vista assai interessante. In unu di i capituli, l'autore discrive u significatu di a scola pitagorica. U titulu stessu di u capitulu m'hà colpitu. Si legge : « L’invenzione di a matematica : i pitagorici ».

Discutemu spessu s'ellu si scopre e teori matematiche (per esempiu, terre scunnisciute) o inventate (per esempiu, machini chì ùn esistevanu prima). Certi matematichi creativi si vedenu cum'è circadori, altri cum'è inventori o diseggiani, menu spessu cuntatori.

Ma l'autore di stu libru scrive nantu à l'invenzione di a matematica in generale.

Da l'esagerazione à l'illusione

Dopu sta longa parte introduttiva, andaraghju à u principiu. geometriaper discrìviri cumu una dipendenza eccessiva da a geometria pò ingannà un scientist. Johannes Kepler hè cunnisciutu in a fisica è l'astronumia cum'è u scupertore di e trè lege di u muvimentu di i corpi celesti. Prima, ogni pianeta in u sistema solare si move intornu à u sole in una orbita ellittica, à unu di i fuochi di quale hè u sole. Siconda, à intervalli regulari u raghju di u pianeta, tiratu da u Sole, tira campi uguali. In terzu, u rapportu di u quadru di u periodu di rivoluzione di un pianeta intornu à u Sole à u cubu di l'assi semi-major di a so orbita (vale à dì, a distanza media da u Sole) hè custante per tutti i pianeti in u sistema sulari.

Forsi questa era a terza lege - hà bisognu di assai dati è calculi per stabilisce, chì hà incitatu à Kepler à cuntinuà a ricerca di mudelli in u muvimentu è a pusizione di i pianeti. A storia di a so nova "scuperta" hè assai istruttiva. Dapoi l'antichità, avemu ammiratu micca solu poliedri regularmente, ma ancu argumenti chì mostranu chì ci sò solu cinque in u spaziu. Un poliedru tridimensionale hè chjamatu regulare se e so facci sò poligoni regulari idèntici è ogni vertice hà u listessu nùmeru di spighe. Illustrativamente, ogni angulu di un poliedru regulare deve "sembra u stessu". U poliedru più famosu hè u cubu. Tutti anu vistu un ankle ordinariu.

U tetraedru regulare hè menu cunnisciutu, è in a scola hè chjamatu piramide triangulare regulare. Sembra una piramide. L'altri trè poliedri regulari sò menu cunnisciuti. Un ottaedru hè furmatu quandu cunnetta i centri di i bordi di un cubu. U dodecaedru è l'icosaedru parenu digià bolle. Fatti di pelle morbida, seranu cunfortu per scavà. L'argumentu chì ùn ci hè micca poliedri rigulari fora di i cinque solidi platonici hè assai bonu. Prima, avemu capitu chì se u corpu hè regulare, allora u listessu numeru (che q) di poligoni regulari idèntici deve cunverge à ogni vertice, sia questi p-anguli. Avà avemu bisognu di ricurdà ciò chì hè l'angulu in un poligonu regulare. Se qualchissia ùn si ricorda micca di a scola, vi ricurdemu cumu truvà u mudellu ghjustu. Avemu fattu un viaghju intornu à u cantonu. À ogni vertice si gira per u listessu angulu a. Quandu andemu intornu à u poligonu è vultemu à u puntu di partenza, avemu fattu p tali volte, è in tuttu avemu vultatu 360 gradi.

Ma α hè un cumplementu di 180 gradi di l'angulu chì vulemu calculà, è hè dunque

Avemu trovu a furmula di l'angulu (un matimàticu dicia: misure di un angulu) di un poligonu regulare. Cuntrollamu : in u triangulu p = 3, ùn ci hè micca a

Cum'è què. Quandu p = 4 (quadratu), allora

gradi hè ancu bè.

Chì avemu per un pentagonu ? Allora chì succede quandu ci sò q poligoni, ogni p avè i stessi anguli

 gradi discendenti à un vertice? S'ellu era nantu à un pianu, allora un angulu si formava

gradi è ùn pò esse più di 360 gradi - perchè allora i poligoni si superponu.

In ogni casu, postu chì sti poligoni scontranu in u spaziu, l'angulu deve esse menu di l'angulu sanu.

È quì hè a inuguaglianza da quale tuttu seguita:

Divide per 180, multiplicà e duie parti per p, ordine (p-2) (q-2) < 4. Chì seguita ? Sapemu chì p è q deve esse numeri naturali è chì p > 2 (perchè ? È chì hè p ?) è ancu q > 2. Ùn ci hè parechje manere di fà u pruduttu di dui numeri naturali menu di 4. Elencheraghju tutti in a tavula 1.

Ùn aghju micca postu disegni, tutti ponu vede sti figuri in Internet... In Internet... Ùn ricuserà micca una digressione lirica - forse hè interessante per i ghjovani lettori. In u 1970 aghju parlatu in un seminariu. U tema era difficiule. Aviu pocu tempu per preparà, aghju pusatu à a sera. L'articulu principale hè statu lettu solu in u locu. U locu era accogliente, cù una atmosfera di travagliu, bè, chjusu à sette. Allora a sposa (oghji a mo moglia) hà prupostu di riscrive tuttu l'articulu per mè: circa una decina di pagine stampate. L'aghju copiatu (no, micca cù una penna, avemu ancu avutu penne), a cunferenza hè stata un successu. Oghje aghju pruvatu à truvà sta publicazione, chì hè digià vechja. M'arricordu solu di u nome di l'autore... A ricerca in Internet durò assai tempu... una quindicina di minuti. Pensu à questu cun un sorrisu è un pocu dispiace inghjustificatu.

Riturnemu à Kepler è a geometria. Apparentemente, Platone hà preditu l'esistenza di a quinta forma regulare perchè ùn mancava qualcosa unificante, chì copre u mondu sanu. Forse hè per quessa ch'ellu hà urdinatu à un studiente (Theajtet) per circà ella. Cume era, cusì era, nantu à a basa di quale u dodecaedru hè statu scupertu. Chjamemu sta attitudine di Platone panteismu. Tutti i scientisti, finu à Newton, succumbenu à questu in più o menu. Dapoi u XVIIImu seculu assai raziunale, a so influenza hè drasticamente diminuita, ancu s'ellu ùn deveriamu micca vergogna di u fattu chì tutti l'avemu succorsu in una manera o l'altra.

In u cuncettu di Kepler di custruisce u sistema sulari, tuttu era currettu, i dati spirimintali coincidevanu cù a tiuria, a tiuria era logicamente coherente, assai bella ... ma completamente falsa. In u so tempu, solu sei pianeti eranu cunnisciuti: Mercuriu, Venus, Terra, Mars, Jupiter è Saturnu. Perchè ci sò solu sei pianeti ? Kepler dumandò. È chì regularità determina a so distanza da u sole ? Hà assumatu chì tuttu era cunnessu, chì geometria è cosmogonia sò strettamente ligati l'un à l'altru. Da i scritti di l'antichi grechi, sapia chì ci era solu cinque poliedri regulari. Vide chì ci era cinque vuoti trà e sei orbite. Allora forsi ognunu di sti spazii liberi currisponde à qualchì poliedru regulare ?

Dopu parechji anni d'osservazione è di travagliu teoricu, hà creatu a teoria seguente, cù l'aiutu di quale hà calculatu abbastanza precisamente e dimensioni di l'orbite, chì hà prisentatu in u libru "Mysterium Cosmographicum", publicatu in u 1596: Imagine una sfera gigante, u diamitru di quale hè u diamitru di l'orbita di Mercuriu in u so muvimentu annuale intornu à u sole. Allora immaginate chì nantu à sta sfera ci hè un ottaedru regulare, sopra una sfera, sopra un icosaedru, sopra una sfera, un dodecaedru, una altra sfera, un tetraedru, una volta una sfera, un cubu. è, infine, nant'à stu cubu u ballò hè discrittu.

Kepler hà cunclusu chì i diametri di sti sferii successivi eranu i diametri di l'orbiti di altri pianeti: Mercuriu, Venus, Terra, Mars, Jupiter è Saturnu. A teoria pareva esse assai precisa. Sfurtunatamente, questu coincide cù i dati sperimentali. E quale megliu evidenza di a correttezza di una tiuria matematica cà a so currispundenza cù dati spirimintali o dati d'osservazione, in particulare "pigliatu da u celu"? I riassume sti calculi in Table 2. Allora chì hà fattu Kepler ? Aghju pruvatu è pruvatu finu à ch'ellu hà travagliatu, vale à dì quandu a cunfigurazione (ordine di sfere) è i calculi resultanti coincidenu cù i dati d'osservazione. Eccu i figuri è i calculi di Kepler muderni:

Unu pò succorsu à a fascinazione di a teoria è crede chì e misurazioni in u celu sò imprecisi, è micca i calculi fatti in u silenziu di l'attellu. Sfurtunatamente, oghje sapemu chì ci sò almenu nove pianeti è chì tutte e coincidenze di risultati sò solu una cuindenza. Una pena. Era cusì bellu ...