Perchè ùn dividemu per zero ?
Cuntenuti
I lettori ponu dumandassi perchè dedicà un articulu sanu à un prublema cusì banale? U mutivu hè u numeru stupente di i studienti (!) chì facianu casualmente l'operazione sottu u nome. È micca solu studienti. Calchì volta cattu e maestri. Chì i studienti di tali maestri puderanu fà in matematica ? U mutivu immediata di scrive stu testu era una conversazione cù un maestru per quale a divisione per zero ùn era micca un prublema ...
Cù zero, iè, fora di u fastidiu di nunda in tuttu, perchè ùn avemu micca veramente bisognu di usà in a vita di ogni ghjornu. Ùn andemu micca à cumprà ova zero. "Ci hè una persona in a stanza" sona in qualchì modu naturali, è "zero persone" sona artificiale. I linguisti dicenu chì u zero hè fora di u sistema di lingua.
Pudemu ancu fà senza u cero in i cunti bancari: basta aduprà - cum'è in un termometru - rossu è blu per i valori pusitivi è negativi (nota chì per a temperatura hè naturali di utilizà rossu per numeri pusitivi, è per i cunti bancari. hè l'altra manera, perchè u debitu duveria attivà un avvisu, cusì u rossu hè assai cunsigliatu).
Cumprendu u zero cum'è un numeru naturali, toccu u prublema di diffirenza Numeri cardinali od famiglia. À 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ..
u putere di u numeru hè u listessu cum'è u numeru di u locu induve si trova. Altrimenti, hè digià in a sequenza 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
U nùmeru di setti di singleton vene u sicondu, u numeru di setti cù dui elementi vene in terzu, è cusì. Avemu da spiegà perchè, per esempiu, ùn avemu micca numeratu i posti di l'atleti in cuncorsi da zero. Allora u vincitore di u primu postu riceve una medaglia d'argentu (l'oru hè andatu à u vincitore di u zero), è cusì. Una prucedura un pocu simili hè stata aduprata in u football - ùn sò micca sapè se i Lettori sanu chì "liga unu" significa " seguitu u megliu ". ", è a liga zero hè chjamata à diventà a "liga maiò".
A volte avemu intesu l'argumentu chì avemu bisognu di principià da zero, perchè hè cunvenutu per e persone IT. Cuntinuendu sti cunsiderazioni, a definizione di un chilometru deve esse cambiatu - duverebbe esse 1024 m, perchè questu hè u numeru di bytes in un kilobyte (riferisceraghju à un scherzu cunnisciutu da l'informatica: "Quale hè a diffarenza trà un novu è un kilobyte). un studiente di l'informatica è un studiente di quintu annu di sta facultà? chì un kilobyte hè 1000 kilobyte, l'ultimu - chì un chilometru hè 1024 metri "!
Un altru puntu di vista, chì deve esse digià pigliatu in seriu, hè questu: misuramu sempre da zero ! Hè abbastanza per fighjà ogni scala nantu à u regnu, in scale di casa, ancu in u clock. Siccomu misurà da cero, è cuntà pò esse capitu cum'è una misura cù una unità senza dimensione, allora duvemu cuntà da cero.
Hè una materia simplice, ma...
Lasciemu u ragiunamentu generale è vultemu à a divisione per zero. A materia hè simplice è saria simplice s'ellu ùn era micca per ... allora chì ? Pensemu è pruvate. Quantu pò esse - unu divisu da zero? Videmu : 1/0 = x. Multiplicà i dui lati da u denominatore di u latu manca.
Avemu 1 = 0. Qualcosa hè sbagliatu! Chì hè accadutu? Ah indovina ! L'assunzione chì ci hè un quotient di unità è zero porta à una cuntradizzione. È s'è unu ùn pò esse divisu da zero, allura un altru numeru pò. Sì, Lettore, scrollate e spalle è vi dumandate perchè l'autore (vale à dì, mè) scrive di tali platitudini, allora ... Sò assai cuntentu!
A furmula 0/0 = 0 puderia esse difendata nantu à una basa obstinata, ma cuntradisce a regula chì u risultatu di dividendu un numeru per ellu stessu hè uguali à unu. Assolutamente, ma assai diffirenti sò sìmmuli cum'è 0/0, °/° è simili in u calculu. Ùn significanu micca un numeru, ma sò designazioni simboliche per sequenze particulari di certi tipi.
In un libru di l'ingegneria elettrica, aghju trovu un paragone interessante: dividendu per zero hè cusì periculosu cum'è l'electricità di alta tensione. Questu hè normale: a lege di Ohm dice chì u rapportu di a tensione à a resistenza hè uguale à u currente: V = U / R. Se a resistenza era zero, un currente teoricamente infinitu passava per u cunduttore, brusgiatu tutti i cunduttori pussibuli.
Una volta aghju scrittu un poema nantu à i periculi di dividendu per zero per ogni ghjornu di a settimana. Mi ricordu chì u ghjornu più drammaticu era ghjovi, ma hè una pietà per tuttu u mo travagliu in questa zona.
Quandu dividite qualcosa per zero
Lunedì assai prestu
Settimana ciò chì hè accadutu
Avete digià fiascatu miseramente.
Quandu u marti dopu meziornu
Mettite zero in u denominatore
Vi dicu allora, vi sbagliate
Cattivu matematicu !
Quandu attraversu zero, attraversu perversione,
Vulete sparte u mercuri
Truverete assai prublemi
Avete fenu è acqua in capu !
Un certu Bartek era cun noi.
Era in cuntrastu cù e regule.
U ghjovi, hè divisibile per zero.
Ùn hè più trà noi !
Se un desideriu stranu ti prende
Divide per zero u venneri
Seraghju onestu, seraghju onestu:
Mal principiu di stu weekend.
Quandu hè zero, in qualchì locu u sabbatu
U divisore serà u vostru (micca grassu)
Inginocchiatevi sottu à a fence di a chjesa.
Questa hè a vostra risurrezzione.
Vulete zero sottu u trattino,
Fate una festa dumenica
Portate gesso, lavagna nera.
Scrivite : ùn hè micca divisibile per zero !
Zero hè assuciatu cù u viotu è u nunda. In verità, hè ghjuntu à a matematica cum'è una quantità chì, quandu aghjunghje à qualchissia, ùn cambia micca: x + 0 = x. Ma avà u zero appare in parechji altri valori, soprattuttu cum'è scala principia. Se fora di a finestra ùn ci hè nè temperatura pusitiva nè fretu, allora ... questu hè cero, chì ùn significa micca chì ùn ci hè micca temperatura in tuttu. Un munumentu zero-class ùn hè micca quellu chì hè statu demolitu per un bellu pezzu è simpricimenti ùn esiste micca. À u cuntrariu, hè qualcosa cum'è u Wawel, a Torre Eiffel è a Statua di a Libertà.
Ebbè, l'impurtanza di cero in un sistema di pusizioni ùn pò micca esse sopravvalutata. Sapete, Lettore, quanti zeri hà Bill Gates in u so contu bancariu ? Ùn sò micca, ma mi piacerebbe a mità. Apparentemente, Napulione Bonaparte hà nutatu chì e persone sò cum'è zeri: acquistanu significatu per via di a pusizione. In Andrzej Wajda As the Years, As the Days Pass, l'artista appassiunatu Jerzy splode: "Philister hè zero, nihil, nunda, nunda, nihil, zero". Ma cero pò esse bonu: "zero deviazione da a norma" significa chì tuttu va bè, è mantene!
Riturnemu à a matematica. Zero pò esse aghjuntu, sottrattu è multiplicatu cù impunità. "Aghju guadagnatu zero kilogrammi", Manya dice à Anya. "E questu hè interessante, perchè aghju persu u stessu pesu", risponde Anya. Allora manghjemu sei porzioni zero di gelato sei volte, ùn ci ferà micca male.
Ùn pudemu micca divide per zero, ma pudemu dividite per zero. Un platu di dumplings zero pò esse facilmente distribuitu à quelli chì aspettanu l'alimentariu. Quantu riceverà ognunu?
Zero ùn hè micca pusitivu o negativu. Questu è u numeru micca pusitivuи micca negativu. Soddisfà l'ineguaglianze x≥0 è x≤0. A cuntradizioni "qualcosa di pusitivu" ùn hè micca "qualcosa di negativu", ma "qualcosa di negativu o uguali à zero". I matematichi, contru à e regule di a lingua, diceranu sempre chì qualcosa hè "uguale à zero" è micca "zero". Per ghjustificà sta pratica, avemu: si leghje a formula x = 0 "x hè zero", allora x = 1 si leghje "x hè uguali à unu", chì puderia esse inghiottitu, ma chì ne di "x = 1534267" ? Ùn pudete micca ancu assignà un valore numericu à u caratteru 00nè elevà u zero à una putenza negativa. Per d 'altra banda, pudete arradicate zero à vuluntà ... è u risultatu serà sempre zero.
Funzione esponenziale y = ax, a basa pusitiva di a, ùn diventa mai zero. Ne segue chì ùn ci hè micca un logaritmu zero. Infatti, u logaritmu di a à a basa b hè l'esponente à quale a basa deve esse elevata per ottene u logaritmu di a. Per a = 0, ùn ci hè micca un tali indicatore, è cero ùn pò esse a basa di u logaritmu. In ogni casu, u zero in u "denominatore" di u simbulu di Newton hè un altru. Assumimu chì sti cunvenzioni ùn portanu micca à una cuntradizzione.
evidenza falsa
A divisione per zero hè un sughjettu cumuni per falsi prove, è succede ancu à i matematichi sperimentati. Lasciami dà dui di i mo esempi preferiti. U primu hè algebricu. "Dimostrarà" chì tutti i numeri sò uguali. Suppone chì ci sò dui numeri chì ùn sò micca uguali. Dunque, unu di elli hè più grande di l'altru, sia a > b. Assumimu chì c hè a so differenza
c \uXNUMXd a - b. Allora avemu a - b = c, induve a = b + c.
Multiplichemu e duie parti di l'ultime per a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
I traduce ak à u latu manca, sicuru, mi ricordu di cambià u signu:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Escludu i fatturi cumuni:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Aghju spartu è aghju ciò chì vulia:
a = b.
E in fatti ancu più straneru, perchè aghju assumatu chì a > b, è aghju avutu chì a = b. Se in l'esempiu sopra "ingannà" hè faciule di ricunnosce, allura in a prova geomètrica sottu ùn hè micca cusì faciule. Pruvaraghju chì ... u trapeziu ùn esiste micca. A figura cumunimenti chjamata trapeziu ùn esiste micca.
Ma supponi prima chì ci hè una cosa cum'è un trapeziu (ABCD in a figura sottu). Hà dui lati paralleli ("basi"). Stendu sti basi, cum'è mostra in a stampa, per avè un parallelogrammu. E so diagonali dividenu l'altra diagonale di u trapeziu in segmenti chì e so lunghezze sò denotati x, y, z, cum'è in figura 1. Da a similitudine di i trianguli currispundenti, uttene e proporzioni:
induve definiscemu:
Oraz
induve definiscemu:
Soustraite i lati di l'ugualità marcati cù asterischi:
Accurtà i dui lati da x - z, avemu - a / b = 1, chì significa chì a + b = 0. Ma i numeri a, b sò e lunghezze di e basi di u trapeziu. Se a so summa hè zero, allora sò ancu zero. Questu significa chì una figura cum'è un trapeziu ùn pò micca esiste! E postu chì i rettanguli, i rombi è i quadrati sò ancu trapezoidi, allora, caru Lettore, ùn ci hè nè rombi, rettanguli è quadrati ...
Guess Guess
A spartera di l'infurmazioni hè a più interessante è sfida di e quattru attività basiche. Quì, per a prima volta, scontru un fenomenu cusì cumunu in l'età adulta : " guess the answer, and then check if you guessed right ". Questu hè assai appruvatu da Daniel K. Dennett ("Cumu fà sbagli?", in How It Is - A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsavia, 1997):
Stu metudu di "guessing" ùn interferiscenu micca cù a nostra vita adulta - forsi perchè l'amparemu prima è guessing ùn hè micca difficiule. Ideologicamente, u listessu fenomenu si trova, per esempiu, in l'induzione matematica (completa). In u listessu locu, avemu "guess" a formula è poi verificate se a nostra guess hè curretta. I studienti sempre dumandanu: "Cumu sapemu u mudellu? Cumu pò esse cacciatu?" Quandu i studienti mi ponenu sta dumanda, aghju trasfurmatu a so dumanda in una scherza : "U cunnoscu questu perchè sò un prufessiunale, perchè sò pagatu per sapè". I studienti in a scola ponu esse risposti in u listessu stile, solu più seriu.
Eserciziu. Nota chì avemu principiatu l'addizione è a multiplicazione scritta cù l'unità più bassa, è a divisione cù l'unità più alta.
Una cumminazzioni di dui idee
I prufessori di matematica anu sempre indicatu chì ciò chì chjamemu a separazione di l'adulti hè l'unione di duie idee conceptualmente differenti: Housing i separazione.
U primu (Housing) si trova in i travaglii induve l'archetipu hè:
Divide-divide Quessi sò compiti cum'è:
? (Conservemu u stilu uriginale di stu prublema, pigliatu da u manuale di Julian Zgozalewicz publicatu in Cracovia in u 1892 - u złoty hè u złoty renanu, a munita chì era in circulazione in l'Imperu Austro-Ungarico finu à u principiu di u XXu seculu).
Avà cunzidira dui prublemi cù u più anticu libru di matematica in pulaccu, babbu Tomasz Clos (1538). Hè una divisione o una coupe ? Risolvi lu in modu chì i scolari in u seculu XIX duveranu:
(Traduzzione polacca à polacca: Ci hè un quartu è quattru vasi in una canna. Una pignatta hè quattru quarti. Qualchissia hà compru 20 barili di vinu per 50 zł per u cummerciu. Duty and tax (accise?) Sarà 8 zł. vende un quartu per guadagnà 8 zł?)
Sport, fisica, cungruenza
Calchì volta in u sport avete da dividite qualcosa per zero (rapportu di u scopu). Ebbè, i ghjudici in qualchì manera trattanu. Tuttavia, in algebra astratta sò in l'agenda. quantità non zerochì u quadru hè zero. Si pò ancu esse spiegatu simpliciamente.
Cunsiderate una funzione F chì assucia un puntu (y, 0) cù un puntu in u pianu (x, y). Cosa hè F2, vale à dì una doppia esecuzione di F ? Funzione Zero - ogni puntu hà una maghjina (0,0).
Enfin, les quantités non nulles dont le carré est 0 sont presque du pain quotidien pour les physiciens, et des nombres de la forme a + bε, où ε ≠ 0, mais ε2 = 0, i matematichi chjamanu numeri doppiu. Ci sò in l'analisi matematica è in a geometria differenziale.
Dopu tuttu, ci hè qualcosa in aritmetica chì hà a divisione per zero in almenu u nome. Veni da cungruenza. Denote Z l'inseme di numeri interi. Dividendu l'inseme Z per p significa chì avemu uguagliatu ogni numeru (entieru) à qualchì altru, vale à dì à quelli chì a so diferenza hè divisibile. Allora, quandu avemu cinque tipi di numeri chì currispundenu à i numeri 0, 1, 2, 3, 4 - i restu pussibuli quandu sò divisi da 5. A formula hè scritta cusì:
mod quandu a diffarenza hè multipla.
Per = 2, avemu solu dui numeri: 0 è 1. Dividing integers in dui classi di tali classi hè equivalente à sparte in pari è impari. Sostituitemu avà. A diffarenza hè sempre divisibule per 1 (qualsiasi numeru interu hè divisibile per 1). Hè pussibule piglià = 0 ? Pruvemu : quandu a sfarenza di dui numeri hè un multiplu di zero ? Solu quandu sti dui numeri sò uguali. Allora dividendu un inseme di numeri interi per zero hè sensu, ma ùn hè micca interessante: ùn succede nunda. Tuttavia, deve esse enfatizatu chì questu ùn hè micca una divisione di numeri in u sensu cunnisciutu da a scola elementaria.
Tali azzioni sò simpliciamente pruibiti, è ancu a matematica longa è larga.
Risu. 2. Identificazione di numeri cù paraguni
(mod 5 è mod 2)
