Cifri è spie

In u Math Corner d'oghje, daraghju un sguardu à un tema ch'e aghju discututu in u Campu di Scienze annuali di a National Children's Foundation per i zitelli. A fundazione cerca i zitelli è i ghjovani cù interessi scientifichi. Ùn avete micca esse estremamente dotatu, ma avete bisognu di avè una "striscia scientifica". I gradi di scola assai boni ùn sò micca richiesti. Pruvate, vi pò piace. Sè vo site una scola elementaria senior o un studiente di u liceu, applica. Di solitu i genitori o a scola facenu i rapporti, ma questu ùn hè micca sempre u casu. Truvate u situ web di a Fundazione è scopre.

In a scola si parla di più in più di "codificazione", riferenu à l'attività chjamata prima "prugrammazione". Questa hè una prucedura cumuni per i educatori teorichi. Scavà i metudi antichi, dà un novu nome, è u "prugressu" hè fattu da ellu stessu. Ci hè parechje spazii induve un tali fenomenu cíclicu accade.

Si pò cuncludi chì aghju svalutatu didattica. Innò. In u sviluppu di a civilisazione, avemu qualchì volta torna à ciò chì era, era abbandunatu è hè avà rinvivitu. Ma u nostru cantonu hè matematicu, micca filusuficu.

L'appartenenza à una cumunità particulare significa ancu "simbuli cumuni", letture cumuni, detti è parabole. Quellu chì hà sappiutu perfettamenti a lingua polacca "ci hè un grande boschettu in Szczebrzeszyn, un scarabeu hè buzzing in i canneti" serà subitu espunutu cum'è spia di un statu straneru s'ellu ùn risponde micca à a quistione di ciò chì u woodpecker faci. Di sicuru ch'ellu si suffoca !

Questu hè micca solu un scherzu. In dicembre di u 1944, i tedeschi anu lanciatu a so ultima offensiva in l'Ardenne à grande spesa. Anu mobilizatu suldati chì parlavanu l'inglese fluente per disturbà u muvimentu di e truppe alleate, per esempiu guinduli in a direzzione sbagliata à l'incroci. Dopu un mumentu di sorpresa, l'Amiricani cuminciaru à dumandà à i suldati dumande sospette, e risposte à quale seria evidenti per una persona di Texas, Nebraska o Georgia è inconcepibile per qualchissia chì ùn hà micca crisciutu quì. Ignuranza di e realità hà purtatu direttamente à l'esekzione.

À u puntu. Aghju cunsigliatu à i lettori u libru di Lukasz Badowski è Zaslaw Adamashek "Laboratory in a Desk Drawer - Mathematics". Questu hè un libru maravigliu chì mostra brillanti chì a matematica hè veramente utile per qualcosa è chì "esperimentu di matematica" ùn hè micca parolle vacanti. Include, frà altre cose, a custruzzione descritta di "l'enigma di cartone" - un dispositivu chì ci hà da piglià solu quindici minuti per creà è chì travaglia cum'è una macchina di cifru seriu. L'idea stessa era cusì cunnisciuta, l'autori citati anu travagliatu bè, è l'aghju cambiatu un pocu è l'incarceraghju in vestiti più matematichi.

seghe a martelli

In una di e strade di u mo paese di dacha in a periferia di Varsavia, u pavimentu hè statu recentemente smontatu da "trlinka" - lastre di pavimentazione esagonale. A cavalcata era incunificata, ma l'anima di u matematicu si rallegrava. Copre u pianu cù poligoni regulari (vale à dì regulare) ùn hè micca faciule. Pò esse solu trianguli, quadrati è esagoni rigulari.

Forsi aghju scherzatu un pocu cù questa gioia spirituale, ma l'esagonu hè una bella figura. Da ellu pudete fà un dispositivu di criptografia abbastanza successu. A geometria aiuterà. L'esagonu hà a simmetria di rotazione - si sovrappone quandu hè rotatu da un multiplu di 60 gradi. U campu marcatu, per esempiu, cù a lettera A in u cima manca fig. 1 dopu à vultà à traversu stu angulu, cadrà ancu in a casella A - è u listessu cù altre lettere. Allora tagliamu sei quadrati da a griglia, ognunu cù una lettera diversa. Pudemu a griglia ottenuta in questu modu nantu à una foglia di carta. In i sei campi liberi, inserite sei lettere di u testu chì vulemu criptà. Rotà a foglia 60 gradi. Sei novi campi apparisceranu - inserite i prossimi sei lettere di u nostru missaghju.

Risu. 1. Trlinks di a gioia di a matematica.

À u dirittu fig. 1 avemu un testu codificatu in stu modu: "Ci hè una locomotiva a vapore pisanti enormi à a stazione".

Avà un pocu di matematica di a scola serà utile. In quantu manere ponu esse disposti dui numeri in relazione l'un à l'altru ?

Chì dumanda stupida ? Per dui : o unu davanti o l'altru.

bè. E trè numeri ?

Ùn hè ancu difficiule di listà tutti i paràmetri:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Ebbè, hè per quattru ! Si pò ancu esse chjaramente spiegatu. Indovinate a regula di l'ordine chì aghju messu:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Quandu i numeri sò cinque, avemu 120 paràmetri pussibuli. Chjamemu permutazioni. U numaru di pussibuli permutazioni di n numeri hè u pruduttu 1 2 3 ... n, chjamatu сильный è marcatu cù un puntu d'esclamazione: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Per u prossimu numeru 6 avemu 6!=720. Adupremu questu per fà u nostru scudo di cifra esagonale più cumplessu.

Scegliemu una permutazione di numeri da 0 à 5, per esempiu 351042. U nostru discu di scrambling hexagonal hà un trattu in u campu mediu - in modu chì pò esse mette "in a pusizioni zero" - un dash up, cum'è in a fig. 1. Pudemu u discu in questu modu nantu à una foglia di carta nantu à quale avemu da scrive u nostru rapportu, ma ùn scrivemu micca subitu, ma vultà trè volte da 60 gradi (vale à dì 180 gradi) è entre sei lettere in i campi vioti. Riturnemu à a pusizione di partenza. Turnemu u dial cinque volte da 60 gradi, vale à dì da cinque "denti" di u nostru dial. Avemu stampatu. A prossima pusizione di scala hè a pusizione rotata 60 gradi intornu à u cero. A quarta pusizione hè 0 gradi, questu hè a pusizione di partenza.

Capite ciò chì hè accadutu ? Avemu un'uppurtunità supplementu - per cumplicà a nostra "macchina" per più di sette centu volte! Dunque, avemu dui pusizioni indipindenti di u "automatu" - l'scelta di a reta è a scelta di a permutazione. A griglia pò esse sceltu in 66 = 46656 modi, permutazione 720. Questu dà 33592320 pussibulità. Più di 33 milioni di cifru ! Quasi un pocu menu, perchè alcune griglie ùn ponu micca esse tagliate da carta.

In a parte bassa fig. 1 avemu un missaghju codificatu cusì: "Ti mandu quattru divisioni di paracadute". Hè facile à capisce chì u nemicu ùn deve esse permessu di sapè di questu. Ma capisce qualcosa di questu:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

ancu cù a firma 351042 ?

Custruemu Enigma, una macchina di cifratura tedesca

Risu. 2. Un esempiu di a stallazione iniziale di a nostra macchina di criptografia.

Permutazioni (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Cum'è l'aghju digià dettu, devu l'idea di creà una tale macchina di cartone à u libru "Lab in a Drawer - Mathematics". A mo "custruzzione" hè un pocu sfarente da quella data da i so autori.

A macchina di cifru utilizata da i tedeschi durante a guerra hà avutu un principiu ingeniosamente simplice, un pocu simili à quellu chì avemu vistu cù u cifru hex. Ogni volta a stessa cosa: rompe l'assignazione dura di una lettera à una altra lettera. Deve esse rimpiazzabile. Cumu fà per avè u cuntrollu?

Sceglie micca ogni permutazione, ma quellu chì hà ciculi di lunghezza 2. Simply put, qualcosa cum'è "Gaderipoluk" descritti quì uni pochi di mesi fà, ma copre tutte e lettere di l'alfabetu. Accordemu 24 lettere - senza ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Quante tali permutazioni? Questu hè un compitu per i graduati di u liceu (duveranu esse capaci di risolve subitu). Quantu? Una mansa di? Parechje millaie ? Iè:

1912098225024001185793365052108800000000 (ùn pruvemu mancu à leghje stu numeru). Ci hè parechje pussibulità per stabilisce a pusizione "zero". È pò esse difficiule.

A nostra macchina hè custituita da dui dischi tondi. Nant'à unu di elli, chì hè sempre in piedi, sò scritti lettere. Hè un pocu cum'è u dial di un vechju telefuninu, induve avete chjamatu un numeru girandu u dial in tuttu. Rotary hè u sicondu cù un schema di culore. A manera più faciule hè di mette nantu à un cork regularmente cù un pin. Invece di cork, pudete aduprà una tavola fina o cartulina grossa. Lukasz Badowski è Zasław Adamaszek ricumandemu di mette i dui dischi in una scatula CD.

Imagine chì vulemu codificà a parolla ARMATY (Risu. 2 è 3). Pone u dispusitivu in a pusizione zero (freccia in su). A lettera A currisponde à F. Rotate u circuitu internu una lettera à diritta. Avemu a lettera R per codificà, avà currisponde à A. Dopu à a prossima rotazione, vedemu chì a lettera M currisponde à U. A prossima rotazione (quartu diagrama) dà a currispundenza A - P. In u quintu dial avemu T. - A. Infine (sestu circulu ) Y - Y U nemicu ùn hà micca prubabilmente guessà chì i nostri CFCFA seranu periculosi per ellu. E cumu "i nostri" leghje u dispatch? Deve avè a listessa macchina, a stessa "programmata", vale à dì cù a stessa permutazione. U cifru principia da a pusizione zero. Allora u valore di F hè A. Girate u dial in senso orariu. A lettera A hè oghji assuciata à R. Gira u dial à diritta è sottu à a lettera U trova M, etc. L'ufficiale di criptu corre versu u generale: "Generale, aghju signalatu, i fucili sò ghjunti!"

Risu. 3. U principiu di funziunamentu di a nostra carta Enigma.

Risu. 3. U principiu di funziunamentu di a nostra carta Enigma.

E pussibulità di ancu un Enigma cusì primitivu sò maravigghiusu. Pudemu sceglie altre permutazioni di output. Pudemu - è ci sò ancu più opportunità quì - micca da un "serif" regularmente, ma in un certu ordine cambiante ogni ghjornu, simile à un esagonu (per esempiu, prima trè lettere, dopu sette, dopu ottu, quattru ... .. ecc. .).

Cumu pudete indovinà ?! Eppuru per i matematichi polacchi (Marian Reevski, Henry Zigalski, Jerzy Ruzicki) hè accadutu. L'infurmazione cusì ottenuta era inestimabile. Nanzu, avianu una cuntribuzione ugualmente impurtante à a storia di a nostra difesa. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevichchì hà violatu u codice di e truppe russe in u 1920. U cable interceptatu hà datu à Piłsudski l'uppurtunità di fà a famosa manuvra da u fiumu Vepsz.

Mi ricordu di Vaslav Sierpinski (1882-1969). Paria un matematicu per quale u mondu esternu ùn esiste micca. Ùn pudia micca parlà di a so participazione à a vittoria in u 1920 per l'armata è ... per ragioni pulitiche (l'autorità di a Republica Pupulare Polacca ùn li piacia micca quelli chì ci difendenu da l'Unioni Suviètica).

Fig. 4. Permutazione (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Risu. 5. Bella decoru, ma micca adattatu per a criptografia. Troppu regularmente.

U travagliu 1. Na fig. 4 avete una altra permutazione per creà Enigma. Copia u disegnu à u xerografu. Custruite una vittura, codificà u vostru nome è cognome. U mo CWONUE JTRYGT. Sè avete bisognu di mantene e vostre note private, utilizate Cardboard Enigma.

U travagliu 2. Cripte u vostru nome è u cognome di unu di i "cars" chì avete vistu, ma (attenzione!) Cù una complicazione addiziale: ùn vultemu micca una tacca à a diritta, ma secondu u schema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - vale à dì, prima per unu, dopu per dui, dopu per trè, dopu per 2, dopu di novu per 1, dopu per 2, ecc., un tali "wavelet" . Assicuratevi chì u mo nome è u mo cognome sò criptati cum'è CZTTAK SDBITH. Avà capite quantu putente era a macchina Enigma?

Risoluzione di prublemi per i graduati di u liceu. Quante opzioni di cunfigurazione per Enigma (in questa versione, cum'è descritta in l'articulu)? Avemu 24 lettere. Selezziunà u primu paru di lettere - questu pò esse fattu

modi. U prossimu paru pò esse sceltu nantu

modi, più

ecc. Dopu à i calculi currispundenti (tutti i numeri deve esse multiplicate), avemu avutu

151476660579404160000

Allora divide stu numeru per 12! (12 fattoriale), perchè e listessi coppie ponu esse ottenute in un ordine sfarente. Allora à a fine avemu "tutali"

316234143225,

questu hè pocu più di 300 miliardi, chì ùn pare micca un numeru incredibilmente grande per i supercomputer d'oghje. In ogni casu, se l'ordine aleatoriu di i permutazioni stessi hè cunsideratu, stu numeru aumenta significativamente. Pudemu ancu pensà à altri tipi di permutazioni.

Vede ancu: