SO À QUALE, vale à dì: PROVATE DOVE POTETE - parte 2

In l'episodiu precedente, avemu trattatu Sudoku, un ghjocu aritmeticu in quale i numeri sò basamente disposti in diversi diagrammi secondu certe regule. A variante più cumuna hè una scacchiera 9 × 9, in più divisa in nove cellule 3 × 3. I numeri da 1 à 9 deve esse stallati nantu à questu per ùn ripetiri nè in una fila verticale (i matematichi dicenu: in una colonna) o in una fila horizontale (i matematichi dicenu: in una fila) - è, in più, cusì chì ùn ripitenu micca. ripetite in ogni quadru più chjucu.

Na fig. 1 vedemu stu puzzle in una versione più simplice, chì hè un quadratu 6 × 6 divisu in rectanguli 2 × 3. Inseremu i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 in questu - per ùn ripetiri micca verticalmente, nè. orizzontalmente, nè in ognunu di l'esagoni selezziunati.

Pruvemu mostratu in u quadru superiore. Pudete riempie cù numeri da 1 à 6 secondu e regule stabilite per stu ghjocu ? Hè pussibule - ma ambiguu. Videmu - disegnà un quadratu à manca o un quadru à a diritta.

Pudemu dì chì questu ùn hè micca a basa per u puzzle. Di solitu assume chì un puzzle hà una solu suluzione. U compitu di truvà diverse basi per u "grande" Sudoku, 9x9, hè un compitu difficiule è ùn ci hè nisuna chance di risolve completamente.

Una altra cunnessione impurtante hè u sistema contradictoriu. U quadru di u fondu di u fondu (quellu cù u numeru 2 in u cantonu in fondu à diritta) ùn pò micca esse cumpletu. Perchè?

Divertimenti è ritiri

Avemu ghjucatu. Utilizemu l'intuizione di i zitelli. Credu chì l'intrattenimentu hè una introduzione à l'apprendimentu. Andemu in u spaziu. inclusu fig. 2 ognunu vede a griglia tetraedruda balli, per esempiu, balli di ping-pong? Ricordate e lezioni di geometria di a scola. I culori nantu à a manca di a stampa spiegà ciò chì hè incollatu quandu assemble u bloccu. In particulare, trè bola d'angulu (rossu) seranu collate in una. Per quessa, deve esse u listessu numeru. Forse 9. Perchè ? È perchè micca ?

Oh, ùn l'aghju micca scrittu compiti. Sona qualcosa di questu: hè pussibule di scrive i numeri da 0 à 9 in a reta visibile per chì ogni faccia cuntene tutti i numeri? U compitu ùn hè micca difficiule, ma quantu avete bisognu di imaginà! Ùn aghju micca spoil u piacè di i lettori è ùn daraghju micca una suluzione.

Questa hè una forma assai bella è sottovalutata. ottaedru regulare, custruitu da duie piramidi (= piramidi) cù una basa quadrata. Cum'è u nome suggerisce, l'ottaedru hà ottu facci.

Ci sò sei vertici in un ottaedru. Contraddisci cubuchì hà sei facci è ottu vertici. I bordi di i dui lumps sò listessi - dodici ognunu. Questu solidi doppiu - chistu significa ca, culligandu i centri di e facci di u cubu avemu un ottaedru, è i centri di e facci di l'octaedru ci daranu un cubu. E duie sti bumps facenu ("perchè anu da") formula di Eulero: A summa di u nùmeru di vertici è u nùmeru di facci hè 2 più di u nùmeru di spighe.

3. Un ottaedru regulare in prughjezzione parallela è un lattice ottaedru cumpostu di sfere in tale manera chì ogni latu hà quattru sfere.

U travagliu 1. Prima, scrivite l'ultima frase di u paràgrafu precedente cù una formula matematica. Nantu à u fig. 3 si vede una griglia ottaedrica, ancu fatta di sfere. Ogni bordu hà quattru boli. Ogni faccia hè un triangulu di dece sfere. U prublema hè stabilitu indipindentamente: hè pussibule di mette numeri da 0 à 9 in i circles di a griglia per chì dopu avè ingannatu un corpu solidu, ogni muru cuntene tutti i numeri (segue senza ripetizione). Cum'è prima, a più grande difficultà in questu compitu hè cumu a maglia hè trasfurmata in un corpu solidu. Ùn possu micca spiegà in scrittura, dunque ùn aghju micca datu a suluzione ancu quì.

4. Dui icosaedri da balli di ping-pong. Avvisu u schema di culori diffirenti.

digià Platuni (è hà campatu in i seculi V-IV aC) cunniscia tutti i poliedri regulari: tetraedru, cubu, ottaedru, dodecaedru i icosaedru. Hè maravigghiusu cumu hè ghjuntu quì - nè matita, nè carta, nè penna, nè libri, nè smartphone, nè internet! Ùn parleraghju micca quì di u dodecaedru. Ma u sudoku icosahedral hè interessante. Avemu vede stu lump on illustrazione 4è a so reta fig. 5.

5. Maglia regulare di l'icosaedru.

Cum'è prima, questu ùn hè micca una griglia in u sensu in u quale avemu ricurdatu (?!) Da a scola, ma una manera di gluing trianguli da boli (balle).

U travagliu 2. Quante boli ci vole à custruisce un tali icosaedru ? U ragiunamentu chì seguita hè sempre veru: postu chì ogni faccia hè un triangulu, s'ellu ci deve esse 20 facci, allora ci vole quant'è 60 sfere ?

6. Griglia di un icosaedru da sfere. Ogni circhiu hè, per esempiu, una bola di ping-pong, ma a custruzzione di circles in circles marcati cù u listessu culore si fusiona in unu. Allora avemu dodici sfere (= dodici vertici : rossu, turchinu, viole, turchinu è ottu gialli).

Hè faciule per vede chì trè numeri in l'icosaedru ùn sò micca abbastanza. Più precisamente: hè impussibile di enumerà i vertici cù numeri 1, 2, 3 per chì ogni faccia (triangulu) hà questi trè numeri è ùn ci hè micca ripetizioni. Hè pussibule cù quattru numeri? Iè hè pussibule! Fighjemu Risu. 6 è 7.

7. Eccu cumu si numeranu e sfere chì custituiscenu l’icosaedru per chì ogni faccia cuntene numeri altru ch’è 1, 2, 3, 4. Quale di i corpi in u fig. 4 hè culurita cusì?

U travagliu 3. Trè di i quattru numeri ponu esse scelti in quattru manere: 123, 124, 134, 234. Truvate cinque tali trianguli in l'icosaedru in u fig. 7 (cum'è da illustrazioni 4).

Esercitu 4 (esige assai bona imaginazione spaziale). L'icosaedru hà dodici vertici, chì significa chì pò esse incollatu da dodeci boli (fig. 7). Nota chì ci sò trè vertici (=balle) marcati cù 1, trè cù 2, è cusì. Cusì, boli di u listessu culore formanu un triangulu. Chì ghjè stu triangulu ? Forse equilaterale? Fighjate di novu illustrazioni 4.

U prossimu compitu per u missiavu / nanna è nipote / nipote. I genitori ponu infine pruvà a so manu, ma anu bisognu di pacienza è tempu.

U travagliu 5. Cumprate dodici (preferibilmente 24) balli di ping-pong, quattru culori di pittura, una spazzola è a cola ghjusta - ùn ricumandemu micca quelli veloci cum'è Superglue o Droplet perchè si seccanu troppu rapidamente è sò periculosi per i zitelli. Colla nantu à l'icosaedru. Vesti a to nipote in una T-shirt chì serà lavata (o ghjittata) subitu dopu. Coperta a tavula cù foil (u ghjurnale hè megliu). Culore cù cura l'icosaedru cù quattru culori 1, 2, 3, 4, cum'è mostra in a fig. fig. 7. Pudete cambià l'ordine - prima colore i palloncini è poi cola. À u listessu tempu, circhi chjuchi deve esse lasciatu senza pittura per chì a pintura ùn si ferma à a pintura.

Avà u compitu più difficiule (più precisamente, a so sequenza sana).

Esercitu 6 (Più specificamente, u tema generale). Trace l'icosaedru cum'è un tetraedru è un ottaedru Risu. 2 è 3 Questu significa chì ci deve esse quattru boli nantu à ogni bordu. In sta variante, u compitu hè tantu tempu è ancu costu. Cuminciamu per sapè quante boli avete bisognu. Ogni faccia hà dece sfere, cusì l'icosaedru hà bisognu di dui centu ? Innò! Avemu da ricurdà chì parechji boli sò spartuti. Quanti bordi hà un icosaedru ? Pò esse calculatu currettamente, ma chì hè a formula di Euler?

w–k+s=2

induve w, k, s sò u numeru di vertici, spighe è facci, rispettivamente. Ricurdamu chì w = 12, s = 20, chì significa k = 30. Avemu 30 bordi di l'icosaedru. Pudete fà in modu diversu, perchè s'ellu ci sò 20 trianguli, allora anu solu 60 bordi, ma dui di elli sò cumuni.

Calculemu quante boli avete bisognu. In ogni triangulu ci hè solu una bola interna - nè in cima di u nostru corpu, nè in u bordu. Cusì, avemu un totale di 20 tali boli. Ci sò 12 picchi. Ogni bordu hà duie bole non-vertice (sò in u bordu, ma micca in a faccia). Siccomu ci sò 30 bordi, ci sò 60 marmi, ma dui di elli sò spartuti, chì significa chì avete solu bisognu di 30 marmi, cusì avete bisognu di un totale di 20 + 12 + 30 = 62 marmi. Balli pò esse compru per almenu 50 centesimi (di solitu più caru). Se aghjunghje u costu di cola, esce ... assai. Un bonu ligame richiede parechje ore di travagliu minuciosu. Inseme sò adattati per un passatempu rilassante - I ricumandemu invece di, per esempiu, fighjà a TV.

Ritirata 1. In a serie di film d'Andrzej Wajda Years, Days, dui omi ghjucanu à scacchi "perchè anu da passà in qualchì modu u tempu finu à a cena". Si passa in Cracovia Galiziana. Infatti : i ghjurnali sò digià letti (tandu avianu 4 pagine), a TV è u telefunu ùn sò ancu inventati, ùn ci sò partite di football. A noia in i pozzi. In una tale situazione, a ghjente hè stata cun divertimentu per elli. Oghje l'avemu dopu pressu u telecomando ...

Ritirata 2. À a riunione 2019 di l'Associazione di Maestri di Matematica, un prufessore spagnolu hà dimustratu un prugramma di computer chì pò pitture pareti solidi in ogni culore. Era un pocu creepy, perchè solu tiravanu e mani, guasi tagliate u corpu. Pensu à mè stessu: quantu piacè pudete piglià da un tali "ombreggiatura"? Tuttu pigghia dui minuti, è da u quartu ùn ricurdemu nunda. Intantu, l'antica "agulla" calma è educa. Quale ùn crede, ch'ellu pruvà.

Riturnemu à u seculu XNUMX è à e nostre realità. Se ùn vulemu micca rilassazione in forma di incollazione di bolle chì richiede u tempu, allora tiraremu almenu una griglia di un icosaedru, chì i bordi anu quattru boli. Cumu fà? Tagliate bè fig. 6. U lettore attentu hà digià capitu u prublema:

U travagliu 7. Hè pussibule enumerà e boli cù numeri da 0 à 9 per chì tutti questi numeri appariscenu nantu à ogni faccia di un tali icosaedru?

Chì ci sò pagati ?

Oghje avemu spessu dumandemu a quistione di u scopu di e nostre attività, è u "grigiu contribuente" hà da dumandà per quessa ch'ellu deve pagà i matematichi per risolve tali puzziche ?

A risposta hè abbastanza simplice. Tali "puzzles", interessanti in elli, sò "un fragmentu di qualcosa più seriu". Dopu tuttu, i parati militari sò solu una parte esterna, spettaculare di un serviziu difficiule. Daraghju solu un esempiu, ma principiaraghju cù un sughjettu matematicu stranu ma ricunnisciutu internaziunale. In u 1852, un studiente inglese dumandò à u so prufessore s'ellu era pussibule di culurite una mappa cù quattru culori per chì i paesi vicini sò sempre mostrati in culori diffirenti? Aghju aghjustatu chì ùn avemu micca cunsideratu "vicini" quelli chì si scontranu in un solu puntu, cum'è i stati di Wyoming è Utah in i Stati Uniti. U prufessore ùn sapia micca... è u prublemu aspittava una suluzione dapoi più di centu anni.

8. Icosaedru da i blocchi RECO. I riflettori flash mostranu ciò chì l'icosaedru hà in cumunu cù u triangulu è u pentagonu. Cinque trianguli cunvergenu à ogni vertice.

Hè accadutu in modu inesperu. In u 1976, un gruppu di matematichi americani hà scrittu un prugramma per risolve stu prublema (è decisu: iè, quattru culori seranu sempre abbastanza). Questa era a prima prova di un fattu matematicu ottenutu cù l'aiutu di una "macchina matematica" - cum'è l'urdinatore era chjamatu mezu seculu fà (è ancu prima: "cervellu elettronicu").

Eccu una "carta di l'Europa" appositamente mostrata (fig. 9). Quelli paesi chì anu una fruntiera cumuna sò cunnessi. Coloring the map hè listessa cum'è coloring the circles of this graph (chjamatu graffiu) per chì nisun circles cunnessi sò u listessu culore. Un sguardu à Liechtenstein, Belgio, Francia è Germania mostra chì trè culori ùn sò micca abbastanza. Se vulete, Lettore, culurite cù quattru culori.

9. Quale cunfini cù quale in Auropa ?

Ebbè, sì, ma vale a pena i soldi di i contribuenti ? Allora fighjemu u listessu graficu un pocu sfarente. Scurdate chì ci sò stati è fruntiere. Chì i circhuli simbulizeghjanu i pacchetti d'informazioni per esse mandati da un puntu à l'altru (per esempiu, da P à EST), è i segmenti rapprisentanu e pussibuli cunnessioni, ognunu hà u so propiu largu di banda. Mandate u più prestu pussibule?

Prima, fighjemu una situazione assai simplificata, ma ancu assai interessante da un puntu di vista matematicu. Avemu da mandà qualcosa da u puntu S (= cum'è principiu) à u puntu M (= finitu) utilizendu una reta di cunnessione cù a listessa larghezza di banda, dì 1. Videmu questu in fig. 10.

10. Rete di cunnessione da Statsyika Zdrój à Megapolis.

Imaginemu chì circa 89 bits d'infurmazione deve esse mandatu da S à M. L'autore di queste parolle li piace à i prublemi nantu à i treni, cusì imagina ch'ellu hè un manager in Stacie Zdrój, da induve hà da mandà 144 vagoni. à a stazione metropolitana. Perchè esattamente 144? Perchè, cum'è avemu vistu, questu serà utilizatu per calculà u throughput di tutta a reta. A capacità hè 1 in ogni lottu, i.e. una vittura pò passà per unità di tempu (un bit d'infurmazione, possibbilmente ancu Gigabyte).

Fighjemu chì tutte e vitture scontranu à u stessu tempu in M. Tutti ghjunghjenu in 89 unità di tempu. Se aghju un pacchettu d'infurmazione assai impurtante da S à M per mandà, l'aghju spartu in gruppi di 144 unità è u spinu cum'è sopra. A matematica guarantisci chì questu serà u più veloce. Cumu sapia chì avete bisognu di 89? Aghju invintatu veramente, ma s'ellu ùn l'aghju micca indovinatu, avissi da capisce l'equazione di Kirchhoff (Qualchissia s'arricorda? - Quessi sò equazioni chì descrizanu u flussu di corrente). A larghezza di banda di a rete hè 184/89, chì hè apprussimatamente uguale à 1,62.

À propositu di gioia

A propositu, mi piace u numeru 144. Mi piace à cavalcà l'autobus cù questu numeru à a Piazza di u Castellu in Varsavia - quandu ùn ci era micca u Castellu Reale restauratu vicinu à questu. Forsi i ghjovani lettori sanu ciò chì una decina sò. Hè 12 copie, ma solu i lettori più vechji si ricordanu chì una decina, vale à dì. 122 = 144, questu hè u cusì chjamatu lottu. È tutti quelli chì cunnosci a matematica un pocu più di u currículum di a scola, capiscenu immediatamente questu fig. 10 avemu numeri di Fibonacci è chì a larghezza di banda di a rete hè vicinu à u "numeru d'oru"

In a sequenza di Fibonacci, 144 hè u solu numeru chì hè un quadru perfettu. Centu quarantaquattru hè ancu un "numeru gioioso". Hè cusì chì un matematicu dilettante indianu Dattatreya Ramachandra Kaprekar in u 1955, hà chjamatu numeri chì sò divisibili da a somma di i so numeri custituenti:

S'ellu sapia Adam Miscavige, Avaria certamente scrittu micca in Dzyady: "Da una mamma strana; u so sangue hè i so vechji eroi / È u so nome hè quarantaquattru, solu più eleganti : È u so nome hè centu quarantaquattru.

Pigliate l'intrattenimentu seriu

Spergu d'avè cunvintu i lettori chì i puzziche di Sudoku sò u latu divertente di e dumande chì certamenti meritanu esse pigliatu in seriu. Ùn possu micca sviluppà stu tema più. Oh, calculu di larghezza di banda di a rete cumpleta da u graficu furnitu fig. 9 A scrittura di un sistema di equazioni duveria duie ore o più - forse ancu decine di seconde (!) di travagliu di l'urdinatore.