Quadrati culuriti è eclissi di sole

L'articulu descrive e mo classi per i studienti di a scola media - i borsisti di u National Children's Fund. A fundazione cerca i zitelli è i ghjovani soprattuttu dotati (da u XNUMX di a scola elementaria à u liceu) è offre "borse di studiu" à studienti selezziunati. In ogni casu, ùn sò micca custituiti in tuttu in a retirazzione di soldi, ma in una cura cumpleta per u sviluppu di u talentu, in regula, per parechji anni. A cuntrariu di parechji altri prughjetti di stu tipu, scentifichi famosi, figure culturali, umanisti prominenti è altri sapienti, è ancu certi pulitici, piglianu in seriu i quartieri di a Fundazione.

L'attività di a Fundazione si estende à tutte e discipline chì sò materie scolastiche di base, eccettu u sportu, cumpresu l'art. U fondu hè statu creatu in u 1983 com'è un antidotu à a realità tandu. Qualchissia pò applicà à u fondu (di solitu attraversu una scola, preferibile prima di a fine di l'annu scolasticu), ma, sicuru, ci hè una certa sieve, una certa prucedura di qualificazione.

Cumu l'aghju digià dettu, l'articulu hè basatu annantu à i mo classi maestri, in particulare in Gdynia, in marzu 2016, à u liceu 24th à u III liceu. Marina. Per parechji anni, sti seminarii sò stati urganizati sottu l'auspices di a Fundazione da Wojciech Thomalczyk, un maestru di carisma straordinariu è altu livellu intellettuale. In u 2008, intrì in u top ten in Pulonia, chì anu premiatu u titulu di Prufessore di Pedagogia (furnita da a lege parechji anni fà). Ci hè una ligera esagerazione in a dichjarazione: "L'educazione hè l'assi di u mondu".

è a luna sò sempre affascinanti - tandu pudete sentu chì campemu nantu à un pianeta chjucu in un spaziu enormu, induve tuttu hè in muvimentu, misuratu in centimetri è seconde. Mi spaventa ancu un pocu, ancu a perspettiva di u tempu. Avemu amparatu chì a prossima eclissi tutale, visibile da l'area di Varsavia oghje, serà in ... 2681. Mi dumandu chi a vede ? E dimensioni apparenti di u Sole è di a Luna in u nostru celu sò quasi listessi - hè per quessa chì l'eclissi sò cusì brevi è cusì spettaculari. Per seculi, quelli brevi minuti duveranu esse abbastanza per l'astrònomu per vede a corona solare. Hè stranu ch'elli succedanu duie volte à l'annu... ma questu significa solu chì in qualchì locu di a Terra si ponu vede per un pocu tempu. In u risultatu di i muvimenti di marea, a Luna s'alluntana da a Terra - in 260 milioni d'anni serà tantu luntanu chì noi (noi???) vedemu solu eclissi annulari.

Apparentemente u primu à predichendu eclissi, era Talete di Mileto (28-585 seculi aC). Probabilmente ùn sapemu micca s'ellu hè accadutu veramente, vale à dì s'ellu hà preditu, perchè u fattu chì l'eclissi in Asia Minore hè accadutu in u maghju 567, 566 aC hè un fattu cunfirmatu da i calculi muderni. Di sicuru, citu dati per u cuntu di u tempu d'oghje. Quandu eru un zitellu, aghju imaginatu cumu a ghjente conta anni. Allora questu hè, per esempiu, XNUMX BC, u Capu di l'annu hè ghjuntu è a ghjente si rallegra: solu XNUMX anni aC! Quantu sò stati felici quand'ellu hè finalmente ghjunta "a nostra era" ! Chì turnu di millennii chì avemu avutu uni pochi d'anni fà !

A matematica di u calculu di date è intervalli eclissi, ùn hè micca particularmente cumplicatu, ma hè crammed cù ogni tipu di fatturi assuciati cù a regularità è, ancu peggiu, cù u muvimentu irregulare di u corpu in orbiti. Mi piacerebbe ancu sapè sta matematica. Cumu Tale di Miletu puderia fà i calculi necessarii ? A risposta hè simplice. Duvete avè una mappa di u celu. Cumu fà un tali mappa? Questu hè ancu micca difficiule, l'antichi Egizziani sapianu cumu fà. À mezanotte, dui preti escenu nantu à u tettu di u tempiu. Chacun d'eux s'assied et dessine ce qu'il voit (comme son collègue). Dopu dui mila anni, sapemu tuttu di u muvimentu di i pianeti ...

Bella geometria, o divertente nantu à u "rug"

I Grechi ùn li piacevanu micca i numeri, anu ricursu à a geometria. Questu hè ciò chì faremu. I nostri eclissi seranu simplici, culuriti, ma ancu interessanti è reali. Accettamu a cunvenzione chì a figura blu si move in tale manera chì eclissi a rossa. Chjamemu a figura turchina a luna, è a figura rossa u sole. Ci facemu e seguenti dumande:

1. quantu dura una eclissi;
2. quandu a mità di u mira hè cupartu;

   Risu. 1 "tappettu" multicolore cù u sole è a luna

3. quale hè a cobertura massima;
4. hè pussibule analizà a dependenza di a cobertura di u scudo à tempu? In questu articulu (sò limitatu da a quantità di testu) fucalizza nantu à a seconda quistione. Daretu à questu hè una bella geometria, forse senza calculi noiosi. Fighjemu a fig. 1. Si pò suppone ch’ella sarà assuciata à... un’eclissi di sulari ?

Devu dì onestamente chì i travaglii chì discuteraghju seranu selezziunati apposta, adattati à e cunniscenze è e cumpetenze di i studienti di u liceu. Ma entremu nantu à tali compiti cum'è i musicisti ghjucanu scale, è l'atleti facenu esercizii di sviluppu generale. D’altronde, ùn hè micca solu un bellu tappettu (fig. 1) ?

Risu. 2 Luna "Blu" è Sole "Rossu".

I nostri corpi celesti, almenu inizialmente, seranu quadrati culuriti. A luna hè turchinu, u sole hè rossu (u megliu per u culore). cù u presente eclissi A luna persegue u sole à traversu u celu, chjappà ... è chjude. Sarà listessa cun noi. U casu più simplice, quandu a Luna si move relative à u Sole, cum'è mostra in Fig. 2. Un eclissi principia quandu u bordu di u discu di a Luna toccu u bordu di u discu di u Sole (Fig. 2) è finisce quandu u vaghjime.

Risu. 3 A luna s’avvicina à u sole in diagonale

Assumimu chì a "Luna" move una cellula per unità di tempu, per esempiu, per minutu. L'eclissi poi dura ottu unità di tempu, per dì minuti. A mità eclissi di sole completamente dimmed A mità di u dial hè chjusu duie volte: dopu à 2 è 6 minuti. U gràficu di oscuramentu percentuale hè simplice. Duranti i primi dui minuti, u scudo si chjude uniformemente à un ritmu di cero à 1, i prossimi dui minuti hè espostu à u listessu ritmu.

Eccu un esempiu più interessante (Fig. 3). A luna si avvicina à u sole in diagonale. Sicondu u nostru accordu di pagamentu per minuti, l'eclissi dura 8√2 minuti - à mezu à questu tempu avemu un eclissi tutale. Calculemu chì parte di u sole hè cupartu dopu à u tempu t (Fig. 3). Se t minuti sò passati da u principiu di l'eclissi, è per quessa a Luna hè cum'è mostra in Fig. 5, allora (attenzione!) Dunque, hè cupartu (l'area di u quadru APQR), uguali à a mità di u discu solare; dunque, hè stata cuperta quandu, i.e. dopu à 4 minuti (poi 4 minuti prima di a fine di l'eclissi).

Risu. 4 Graficu di a funzione "ombreggiatura".

Totalità dura un mumentu (t = 4√2), è u graficu di a funzione "parte ombreggiata" hè custituita da dui archi di parabola (Fig. 4).

A nostra luna turchinu tuccarà u cantonu cù u sole rossu, ma a coperà micca, andendu micca in diagonale, ma ligeramente in diagonale.A geometria interessante appare quandu complichemu un pocu u muvimentu (Fig. 6). A direzzione di u muvimentu hè issa vettore [4,3], vale à dì, "quattru cellule à a diritta, trè cellule in sopra". A pusizioni di u sole hè cusì chì l'eclissi principia (posizione A) quandu i lati di i "corpi celesti" cunvergenu à un quartu di a so lunghezza. Quandu a Luna si move in a pusizione B, eclissi un sestu di u Sole, è in a pusizione C eclissi a mità. In a pusizione D, avemu un eclissi tutale, è dopu tuttu torna, "cum'è era".

Risu. 5 Parte di u sole piatta durante u tempu t

L'eclissi finisci quandu a Luna hè in pusizioni G. Durò quant'è lunghezza di a seccione AG. Se, cum'è prima, avemu pigliatu cum'è unità di tempu u tempu durante u quale a Luna passa "un quadru", allura a durata di l'AG hè uguali. Se avemu vultatu à l'antica cunvenzione chì i nostri corpi celesti sò 4 per 4, u risultatu saria diversu (chì?). Cumu hè faciule per vede, u mira chjude dopu à t < 15. U graficu di a funzione "percentuali di a cobertura di a pantalla" pò esse vistu in a fig. 6.

Risu. 6 Graficu di a funzione "prutezzione per centu".

Eclissi è equazioni di saltu

Risu. 7 Ostruzzione di u discu solare durante l'eclissi mostra in fig. 6

U prublema di l'eclissi ùn saria micca cumpletu s'ellu ùn avemu micca cunsideratu u casu di i circles. Questu hè assai più complicatu, ma pruvemu à capisce quandu un cerculu eclissi a mità di l'altru - è in u casu più simplice, quandu unu d'elli si move à longu u diametru chì cunnetta i dui. U disegnu hè familiar à i titulari di una carta di creditu.

U calculu di a pusizione di i campi hè cumplicatu, postu chì esige, prima, a cunniscenza di a formula per l'area di un segmentu circular, in segundu, a cunniscenza di l'arcu di l'angulu, è in terzu (è u peghju di tutti), a capacità. per risolve una certa equazioni di salto. Ùn spiegheraghju micca ciò chì hè una "equazione transitiva", fighjemu un esempiu (Fig. 8).

Risu. 8 Eclissi "sferica".

Una seccione circular hè a "ciotola" chì ferma dopu avè tagliatu un circhiu cù una linea recta. L'area di un tali segmentu hè S = 1/2r²(φ-sinφ), induve r hè u raghju di u circhiu, è φ hè l'angulu cintrali nantu à quale u segmentu si trova (Fig. 8). Questu hè facilmente ottenutu sottraendu l'area di u triangulu da l'area di u settore circular.

Episodiu O₁O₂ (a distanza trà i centri di i circhi) hè dunque uguale à 2rcosφ/2, è a altezza (larghezza, "taglia") h = 2rsinφ/2. Allora, s'è no vulemu calculà quandu a Luna copre a mità di u discu solare, avemu bisognu di risolve l'equazioni: chì, dopu a simplificazione, diventa:

Risu. 9 Graficu di duie funzioni

A suluzione di tali equazioni va oltre l'algebra simplice - l'equazioni cuntene dui anguli è e so funzioni trigonometriche. L'equazioni hè fora di a portata di i metudi tradiziunali. Hè per quessa chì si chjama saltà. Fighjemu prima i grafici di e duie funzioni, vale à dì e funzioni è e funzioni Pudemu leghje una suluzione apprussimata da sta figura. Tuttavia, pudemu avè una approssimazione iterativa o ... utilizate l'opzione Solver in a foglia di calculu Excel. Ogni studiente di u liceu deve esse capace di fà questu, perchè hè u XXu seculu. Aghju utilizatu un strumentu Mathematica più sofisticatu è eccu a nostra suluzione cù 20 decimali di precisione inutile:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Risu. 10 Animazione di l'eclissi in matematica

On transforme cela en degrés en multipliant par 180/π. Avemu 132 gradi, 20 minuti, 45 è un quartu d'arcu secondu. On calcule que la distance au centre du cercle est O₁O₂ = 0,808 raghju, è "cintina" 2,310.