incantu inversu

Si parla assai di "l'incantu di l'opposti", è micca solu in matematica. Ricurdativi chì i numeri opposti sò quelli chì sò diffirenti solu in u signu: più 7 è minus 7. A summa di i numeri opposti hè zero. Ma per noi (vale à dì i matematichi) i reciproci sò più interessanti. Se u pruduttu di i numeri hè uguali à 1, allora sti numeri sò inversi unu à l'altru. Ogni numeru hà u so cuntrariu, ogni numeru non-zeru hà u so inversu. U reciprocu di u reciprocu hè a sumente.

L'inversione si trova induve duie quantità sò ligati l'una à l'altru cusì chì si una aumenta, l'altra diminuisce à un ritmu currispundente. "Rilevante" significa chì u pruduttu di sti quantità ùn cambia micca. Ricordemu da a scola : questu hè una proporzione inversa. Se vogliu ghjunghje à a mo destinazione duie volte più veloce (vale à dì tagliate u tempu à a mità), aghju bisognu di duppià a mo velocità. Se u voluminu di un vasu sigillatu cù u gasu hè ridutta da n volte, allora a so pressione aumenterà da n volte.

In l'educazione elementaria, distinguemu currettamente trà paraguni differenziali è parenti. "Quantu di più"? - "Quante volte di più?"

Eccu alcune attività di a scola:

U travagliu 1. Di i dui valori pusitivi, u primu hè 5 volte più grande di u sicondu è à u stessu tempu 5 volte più grande di u primu. Chì sò e dimensioni?

U travagliu 2. Sì un numeru hè 3 più grande di u sicondu, è u sicondu hè 2 più grande di u terzu, quantu hè u primu numeru più grande di u terzu? Sì u primu numeru pusitivu hè duie volte u sicondu, è u primu numeru hè trè volte u terzu, quante volte u primu numeru hè più grande di u terzu?

U travagliu 3. In u compitu 2, solu i numeri naturali sò permessi. Hè pussibule un tali arrangiamentu cum'è descrittu?

U travagliu 4. Di i dui valori pusitivi, u primu hè 5 volte u sicondu, è u sicondu hè 5 volte u primu. Hè pussibule ?

U cuncettu di "mediu" o "mediu" pare assai simplice. S'è aghju fattu in bicicletta 55 km u luni, 45 km u marti, è 80 km u marcuri, in media aghju ciclatu 60 km per ghjornu. Semu d'accordu in tuttu cù questi calculi, anche si sò un pocu strani perchè ùn aghju micca guidatu 60 km in un ghjornu. Acceptemu cusì facilmente l'azzioni di una persona: se duie centu persone visitanu un ristorante in sei ghjorni, a tarifa media di ogni ghjornu hè di 33 è un terzu persone. Hm!

Ci sò prublemi solu cù a dimensione media. Mi piace a bicicletta. Allora aghju apprufittatu di l'offerta di l'agenzia di viaghju "Andemu cun noi" - consegnanu i bagaglii à l'hotel, induve u cliente viaghja in bicicletta per scopi recreativi. U venneri aghju guidatu per quattru ore: i primi dui à una vitezza di 24 km per ora. Allora aghju tantu stancu chì per i dui prossime à una tarifa di solu 16 per ora. Chì era a mo velocità media? Di sicuru (24+16)/2=20km=20km/h.

U sabbatu, però, i bagaglii sò stati lasciati à l'albergu, è andatu à vede e ruine di u castellu, chì si trova à 24 km, è dopu avè vistu, aghju vultatu. Aghju guidatu una ora in una direzzione, vultò più lentamente, à una vitezza di 16 km per ora. Chì era a mo velocità media nantu à a strada hotel-castellu-hotel ? 20 km à l'ora? Di sicuru micca. Dopu tuttu, aghju guidatu un totale di 48 km è mi pigliò una ora ("ci") è una ora è mezza di ritornu. 48 km in duie ore è mezu, i.e. ora 48/2,5=192/10=19,2 km ! In questa situazione, a vitezza media ùn hè micca a media aritmetica, ma l'armonica di i valori dati:

è sta furmula di dui piani pò esse leghje cusì: a media armonica di i numeri pusitivi hè u reciprocu di a media aritmetica di u so reciprocu. U reciprocu di a somma di i reciproci appare in parechji cori di l'assignazioni di a scola: se un travagliadore cava ore, l'altru - b ore, dopu, travagliendu inseme, scavà à tempu. piscina d'acqua (una per ora, l'altra à b ore). Se un resistore hà R1 è l'altru hà R2, allora anu una resistenza parallela. 

Se un urdinatore pò risolve un prublema in sicondi, un altru computer in b seconde, allora quandu travaglianu inseme...

Ferma ! Hè quì chì l'analogia finisci, perchè tuttu dipende di a velocità di a reta: l'efficienza di e cunnessione. I travagliadori ponu ancu impedisce o aiutanu l'altri. Se un omu pò scavà un pozzu in ottu ore, ottanta travagliadori ponu fà in 1/10 d'una ora (o 6 minuti) ? Se sei portiere portanu u pianoforte à u primu pianu in 6 minuti, quantu durarà unu d'elli per purtà u pianoforte à u sessantu pianu ? L'assurdità di tali prublemi porta in mente l'applicabilità limitata di tutte e matematiche à i prublemi "da a vita".

Circa tuttu u venditore 

E scale ùn sò più usate. Ricurdativi chì un pesu hè statu postu nantu à una ciotola di tali scale, è i merchenzie chì sò stati pisati sò stati posti nantu à l'altru, è quandu u pesu era in equilibriu, allora i beni pisanu quantu u pesu. Di sicuru, i dui braccia di a carica di pesu deve esse a listessa lunghezza, altrimente u pesu serà sbagliatu.

Oh bè. Imagine un venditore chì hà un pesu cù leverage ineguali. Tuttavia, vole esse onestu cù i clienti è pesa a merchenzie in dui batch. Prima, mette un pesu nantu à una padedda, è à l'altru una quantità currispondente di merchenzie - per chì e scale sò in equilibriu. Allora pesa a seconda "mitate" di e merchenzie in l'ordine inversu, vale à dì, mette u pesu nantu à a seconda tazza, è a merchenzie nantu à u primu. Siccomu e mani sò ineguali, i "metà" ùn sò mai uguali. È a cuscenza di u venditore hè chjaru, è i cumpratori elogianu a so onestà: "Ciò chì aghju cacciatu quì, aghju aghjustatu".

Tuttavia, fighjemu un ochju più vicinu à u cumpurtamentu di un vinditore chì vole esse onestu malgradu u pesu precariu. Chì i bracci di l'equilibriu anu longu a è b. Sì una di e tazze hè carricu cù un kilogramu di pesu è l'altru cù x merchenzie, allora e scale sò in equilibriu si ax = b a prima volta è bx = a a seconda volta. Allora, a prima parte di a merchenzie hè uguali à b / a kilogramu, a seconda parte hè a / b. U bonu pesu hà a = b, cusì u cumpratore riceverà 2 kg di merchenzie. Videmu ciò chì succede quandu a ≠ b. Allora a – b ≠ 0 è da a formula di multiplicazione ridutta avemu

Avemu ghjuntu à un risultatu inespettatu: u metudu apparentemente ghjustu di "media" a misura in questu casu travaglia à u benefiziu di u cumpratore, chì riceve più merchenzie.

Esercitu 5. (Importante, per nunda in matematica !). Un mosquito pesa 2,5 milligrammi, è un elefante cinque tunnillati (questu hè una dati abbastanza curretta). Calculate a media aritmetica, a media geomètrica è a media armonica di e masse (pesi) di mosquito è elefante. Verificate i calculi è vede s'ellu anu un sensu in più di l'esercizii aritmetici. Fighjemu altri esempi di calculi matematichi chì ùn anu micca sensu in a "vita vera". Tip: Avemu digià vistu un esempiu in questu articulu. Questu significa chì un studiente anonimu chì l'opinione ch'e aghju trovu in Internet era ghjustu: "A matematica inganna a ghjente cù numeri"?

Iè, sò d'accordu chì in a grandezza di a matematica, pudete "inganà" a ghjente - ogni seconda publicità di shampoo dice chì aumenta a fluffiness da qualchì percentuale. Cerchemu altri esempi di strumenti utili di ogni ghjornu chì ponu esse usatu per attività criminali?

Grammi!

U tìtulu di stu passaghju hè un verbu (prima persona plurale) micca un sustantivu (nominativu plurale di un millesimu di kilogramu). L'armunia implica l'ordine è a musica. Per l'antichi grechi, a musica era un ramu di a scienza - deve esse admessu chì, si dicemu cusì, trasfiriu u significatu attuale di a parolla "scienza" à u tempu prima di a nostra era. Pitagora hà campatu in u seculu XNUMX a.C.. Ùn solu ùn hà micca cunnisciutu un urdinatore, u telefuninu è l'email, ma ùn sapia ancu quale eranu Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne è Cicero. Ùn cunniscia nè arabi nè numeri romani (si sò ghjunti in usu versu u V seculu aC), ùn sapia micca ciò chì eranu e guerre puniche ... Ma sapia a musica ...

Il savait que sur les instruments à corde, les coefficients de vibration étaient inversement proportionnels à la longueur des parties vibrantes des cordes. Sapia, sapia, solu ùn pudia sprimela cum'è noi facemu oghje.

E frequenze di e duie vibrazioni di corda chì custituiscenu una ottava sò in un rapportu 1: 2, vale à dì, a freccia di a nota più alta hè duie volte a freccia di a più bassa. U rapportu di vibrazione curretta per a quinta hè 2: 3, u quartu hè 3: 4, u terzu maiò puru hè 4: 5, u terzu minore hè 5: 6. Quessi sò intervalli cunsonanti piacevuli. Allora ci sò dui neutrali, cù rapporti di vibrazione di 6: 7 è 7: 8, dopu dissonanti - un tonu grande (8: 9), un tonu chjucu (9: 10). Queste fraccioni (ratio) sò cum'è i rapporti di i membri successivi di una sequenza chì i matematichi (per questu propiu) chjamanu a serie armonica:

hè una somma teoricamente infinita. U rapportu di l'oscillazioni di l'ottava pò esse scrittu cum'è 2: 4 è mette una quinta trà elli: 2: 3: 4, vale à dì, dividiremu l'ottava in una quinta è una quarta. Questu hè chjamatu divisione di segmentu armonicu in matematica:

Risu. 1. Per un musicista : dividendu l’ottava AB in a quinta AC.Per i matematichi: Segmentazione armonica

Chì vogliu dì quandu parlu (sopra) di una somma teoricamente infinita, cum'è a serie armonica? Ci hè chì una tale somma pò esse qualsiasi gran numaru, u principale hè chì aghjunghjemu per un bellu pezzu. Ci sò menu è menu ingredienti, ma ci sò di più in più. Chì prevale? Quì entremu in u regnu di l'analisi matematica. Ci hè chì l'ingredienti sò depleted, ma micca assai rapidamente. Dimustraraghju chì piglià abbastanza ingredienti, possu riassume:

arbitrariamente grande. Pigliemu "per esempiu" n = 1024. Agrupemu e parolle cum'è mostra in a figura:

In ogni parentesi, ogni parolla hè più grande di a precedente, salvu, sicuru, l'ultimu, chì hè uguali à ellu stessu. In i seguenti parentesi, avemu 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 è 512 cumpunenti; u valore di a somma in ogni parentesi hè più grande di ½. Tuttu chistu hè più di 5½. I calculi più precisi mostranu chì sta quantità hè di circa 7,50918. Micca assai, ma sempre, è pudete vede chì piglià n ogni grande, possu superà ogni numeru. Questu incredibbilmente lento (per esempiu, avemu top ten cù ingredienti solu), ma a crescita infinita hà sempre fascinatu i matematichi.

Viaghjà à l'infinitu cù a serie armonica

Eccu un puzzle per qualchi matematica abbastanza seria. Avemu un fornimentu illimitatu di blocchi rettangulari (chì possu dì, rettangulari!) cù dimensioni, per dì, 4 × 2 × 1. Cunsiderate un sistema custituitu da parechji (in fig. 2 - quattru) blocchi, disposti in modu chì u primu hè inclinatu da ½ di a so lunghezza, u sicondu da sopra à ¼ è cusì, u terzu da un sestu. Ebbè, forse per rende veramente stabile, inclinamu u primu mattone un pocu menu. Ùn importa micca per i calculi.

Risu. 2. Determinà u centru di gravità

Hè ancu faciule capisce chì, postu chì a figura cumposta da i primi dui blocchi (cuntendu da sopra) hà un centru di simetria in u puntu B, allora B hè u centru di gravità. Definimu geomètricamenti u centru di gravità di u sistema, cumpostu di i trè blocchi superiori. Un argumentu assai simplice hè abbastanza quì. Dividemu mentalmente a cumpusizioni di trè blocchi in dui superiori è un terzu inferjuri. Stu centru deve esse situatu nantu à a seccione chì culliga i centri di gravità di e duie parte. À chì puntu di stu episodiu?

Ci hè duie manere di designà. In u primu, avemu aduprà l'osservazione chì stu centru deve esse in u mità di a piramide di trè blocchi, vale à dì, nantu à una linea dritta intersecting u sicondu, bloccu mediu. In a seconda manera, avemu capitu chì, postu chì i dui blocchi superiori anu una massa tutale di duie volte quella di un unicu bloccu #3 (cima), u centru di gravità in questa sezione deve esse duie volte più vicinu à B quant'è à u centru. S di u terzu bloccu. In listessu modu, truvamu u puntu dopu: culligamu u centru trovu di i trè blocchi cù u centru S di u quartu bloccu. U centru di tuttu u sistema hè à l'altitudine 2 è à u puntu chì divide u segmentu da 1 à 3 (vale à dì da ¾ di a so lunghezza).

I calculi chì avemu da fà un pocu più avanti portanu à u risultatu mostratu in Fig. fig. 3. I centri di gravità consecutivi sò eliminati da u latu drittu di u blocu inferjuri da:

Cusì, a prughjezzione di u centru di gravità di a piramide hè sempre in a basa. A torre ùn si sguasserà. Avà guardemu fig. 3 è per un mumentu, usemu u quintu bloccu da a cima cum'è a basa (quellu marcatu cù u culore più brillanti). Inclinazione superiore:

cusì, u so latu manca hè 1 più luntanu cà u cantu drittu di a basa. Eccu u prossimu swing:

Chì ghjè u più grande swing ? Sapemu digià ! Ùn ci hè micca più grande! Pigliendu ancu i blocchi più chjuchi, pudete uttene un soprappulu di un chilometru - sfurtunatamenti, solu matematicamente: a Terra sana ùn saria micca abbastanza per custruisce tanti blocchi!

Risu. 3. Aghjunghjite più blocchi

Avà i calculi chì avemu lasciatu sopra. Calculemu tutte e distanze "orizzontalmente" nantu à l'assi x, perchè hè tuttu ciò chì ci hè. U puntu A (u centru di gravità di u primu bloccu) hè 1/2 da u latu drittu. U puntu B (u centru di u sistema di dui blocchi) hè 1/4 di distanza da u latu drittu di u sicondu bloccu. Chì u puntu di partenza sia a fine di u sicondu bloccu (avà andemu à u terzu). Per esempiu, induve hè u centru di gravità di u bloccu unicu #3? A mità di a lunghezza di stu bloccu, dunque, hè 1/2 + 1/4 = 3/4 da u nostru puntu di riferimentu. Induve hè u puntu C? In dui terri di u segmentu trà 3/4 è 1/4, vale à dì à u puntu prima, cambiamu u puntu di riferimentu à a riva dritta di u terzu bloccu. U centru di gravità di u sistema di trè blocchi hè avà sguassatu da u novu puntu di riferimentu, è cusì. Centru di gravità C_n una torra cumposta di n blocchi hè 1/2n luntanu da u puntu di riferimentu istantaneu, chì hè a riva dritta di u blocu di basa, vale à dì u blocu nth da a cima.

Siccomu a serie di reciproci diverges, pudemu avè ogni grande variazione. Questu puderia esse veramente implementatu? Hè cum'è una torre di brique interminabile - prima o poi collapserà sottu u so propiu pesu. In u nostru schema, l'imprecisioni minime in u piazzamentu di u bloccu (è u lento aumentu di i sume parziali di a serie) significa chì ùn andemu micca assai luntanu.