Viaghjà in u mondu irreale di a matematica

Aghju scrittu stu articulu in unu di l'ambienti, dopu una cunferenza è pratica in un college di l'informatica. Mi difendu contr'à e critiche di i studienti di sta scola, a so cunniscenza, l'attitudine à a scienza è, soprattuttu, e so cumpetenze d'insignamentu. Questu... nimu li insegna.

Perchè sò cusì difensiva? Per una raghjone simplice - sò in una età quandu, prubabilmente, u mondu intornu à noi ùn hè ancu capitu. Forse li insegneraghju à imbracà è sferisce i cavalli, è micca à guidà una vittura ? Forse li insegni à scrive cù una penna d'oca ? Ancu s'ellu aghju una opinione megliu di una persona, mi cunsiderà "seguendu", ma ...

Finu à pocu tempu, in u liceu, si parlavanu di numeri cumplessi. È era questu mercuri chì sò ghjuntu in casa, abbandunà - quasi nimu di i studienti hà ancu amparatu ciò chì hè è cumu utilizà sti numeri. Qualchidunu guardanu tutte e matematiche cum'è un oca à una porta dipinta. Ma eru ancu veramente sorpresu quandu m'anu dettu cumu amparà. Bastamente, ogni ora di una conferenza hè duie ore di travagliu in casa: leghje un libru di testu, amparà à risolve i prublemi nantu à un tema determinatu, etc. Dopu avè preparatu in questu modu, ghjunghjemu à l'esercizii, induve migliuramu tuttu ... Per piacè, i studienti, apparentemente, pensavanu chì pusendu à a lezione - più spessu fighjendu da a finestra - guarantiscia digià l'ingressu di a cunniscenza in a testa.

Ferma ! Basta di questu. Scriveraghju a mo risposta à una quistione chì aghju ricevutu durante una classe cù i so cumpagni di u Fondu Naziunale di i zitelli, una istituzione chì sustene i zitelli talentu di tuttu u paese. A quistione (o megliu u suggerimentu) era:

- Ci pò dì qualcosa di i numeri irreali ?

"Di sicuru", aghju rispostu. 

A realità di i numeri

"Un amicu hè un altru mè, l'amicizia hè u rapportu di i numeri 220 è 284", disse Pitagora. U puntu quì hè chì a summa di i divisori di u numeru 220 hè 284, è a summa di i divisori di u numeru 284 hè 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Una altra coincidenza interessante trà i numeri 220 è 284 hè questu: i diciassette numeri primi più alti sò 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , è 59.

A so summa hè 2x220, è a summa di i quatrati hè 59x284.

Primu. Ùn ci hè micca cuncettu di "numeru veru". Hè cum'è dopu avè lettu un articulu nantu à l'elefanti, dumandate: "Ora avemu da dumandà micca elefanti". Ci sò sanu è micca sanu, raziunali è irraziunali, ma ùn ci sò micca irreali. In particulare: i numeri chì ùn sò micca veri ùn sò micca chjamati invalidi. Ci sò parechji tippi di "numeri" in matematica, è sò diffirenti l'una di l'altru, cum'è - per piglià un paragone zoologicu - un elefante è un vermu di terra.

Siconda, faremu operazioni chì pudete digià sapete chì sò pruibiti: piglià radiche quadrate da numeri negativi. Ebbè, a matematica supererà tali ostaculi. Hè sensu però? In matematica, cum'è in ogni altra scienza, chì una tiuria entra per sempre in u repositoriu di a cunniscenza dipende ... da a so applicazione. S'ellu hè inùtule, allora si finisce in a basura, dopu in qualcuni scontri di a storia di a cunniscenza. Senza i numeri chì parlu à a fine di stu articulu, hè impussibile di sviluppà a matematica. Ma cuminciamu cù qualchi picculi cose. Chì sò i numeri veri, sapete. Omplenu a linea numerica densamente è senza spazii. Sapete ancu ciò chì i numeri naturali sò: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...... - tutti ùn si adattanu micca. memoria ancu u più grande. Anu ancu un bellu nome: naturali. Hanu tanti pruprietà interessanti. Cumu ti piace questu:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Hè naturali esse interessatu à i numeri naturali", disse Karl Lindenholm, è Leopold Kronecker (1823-1891) hà dettu succintamente: "Diu hà creatu i numeri naturali - tuttu u restu hè u travagliu di l'omu!" E frazioni (chjamate numeri raziunali da i matematichi) anu ancu proprietà maravigghiusu:

è in uguaglianza :

pudete, partendu da u latu di manca, strofinate i pluses è rimpiazzà li cù segni di multiplicazione - è l'ugualità resta vera:

E accussì.

Comu sapete, per e frazioni a/b, induve a è b sò interi, è b ≠ 0, dicenu numeru raziunale. Ma solu in polacco si chjamanu cusì. Parlanu inglese, francese, tedescu è russu. numeru raziunale. In inglese: numeri raziunali. Numeri irrazionali hè irraziunale, irraziunale. Parlemu ancu polacco di teorii, idee è atti irrazionali - questu hè una follia, imaginaria, inspiegabile. Dicenu chì e donne anu a paura di i topi - ùn hè micca cusì irrazionale?

In i tempi antichi, i numeri avianu una anima. Ognunu significava qualcosa, ogni simbulizzava qualcosa, ognunu riflette una particella di quella armunia di l'Universu, vale à dì in grecu, u Cosmos. A stessa parola "cosmos" significa esattamente "ordine, ordine". I più impurtanti eranu sei (u numeru perfettu) è deci, a summa di i numeri consecutivi 1 + 2 + 3 + 4, custituiti da altri numeri chì u simbolismo hè sopravvissutu à oghje. Allora Pitagora hà insignatu chì i numeri sò u principiu è a fonte di tuttu, è solu a scuperta numeri irraziunali hà vultatu u muvimentu pitagoricu versu a geometria. Sapemu u ragiunamentu da a scola chì

√2 hè un numeru irraziunale

Perchè suppone chì ci hè: è chì sta frazzioni ùn pò esse ridutta. In particulare, p è q sò dispari. Facemu quadratu : 2q²=p². U numaru p ùn pò esse stranu, postu chì p² seria ancu, è u latu manca di l'ugualità hè un multiplu di 2. Dunque, p hè pari, vale à dì, p = 2r, dunque p²= 4r². Riducemu l'equazioni 2q²= 4r² da 2. Avemu q²= 2r² è vedemu chì q deve ancu esse ancu, chì avemu presumitu ùn hè micca cusì. A cuntradizioni risultante cumpleta a prova - sta formula pò esse spessu truvata in ogni libru di matematica. Questa prova circustanza hè un truccu favuritu di i sofisti.

Sta immensità ùn pudia esse capitu da i pitagorici. Tuttu deve esse discritta da numeri, è a diagonale di un quadru, chì qualcunu pò disegnà cù un bastone à traversu a sabbia, ùn hà micca, vale à dì, misurabile, lunghezza. "A nostra fede era in vanu", parenu dì i pitagorici. Cumu cusì ? Hè un tipu di... irrazionale. L'Unione hà pruvatu à salvà si per metudi settarii. Qualchissia chì ose di revelà a so esistenza numeri irraziunali, duvia esse punitu da a morte, è, apparentemente, a prima sentenza hè stata realizata da u maestru stessu.

Ma "u pensamentu passò senza danni". L'età d'oru hè ghjunta. I Grechi anu scunfittu i Persiani (Marathon 490, Block 479). A demucrazia hè stata rinfurzata, sò stati novi centri di pensamentu filusuficu è scole novi. I pitagorici eranu sempre in lotta cù i numeri irraziunali. Certi anu pridicatu : ùn avemu micca capitu stu misteru ; pudemu solu cuntemplà è maravigliate in Uncharted. L'ultimi eranu più pragmatichi è ùn rispettu micca u Misteriu. À quellu tempu, parevanu dui custruzzioni mentali chì permettenu di capiscenu i numeri irraziunali. U fattu chì l'avemu capitu bè oghje appartene à Eudoxus (V seculu aC), è hè solu à a fine di u XNUMXu seculu chì u matematicu tedescu Richard Dedekind hà datu à a teoria di Eudoxus u sviluppu propiu in cunfurmità cù i requisiti di rigurosu. logica matematica.

Massa di figure o tortura

Pudete campà senza numeri ? Ancu s'ellu ci saria a vita... Avemu da andà in a tenda per cumprà scarpi cù un bastone, chì avemu prima misuratu a durata di u pede. "Mi piacerebbe mele, ah, eccu!" - avissimu mustrà i venditori in u mercatu. "Quantu hè da Modlin à Nowy Dwur Mazowiecki"? "Abbastanti vicinu!"

I numeri sò usati per misurà. Cù u so aiutu, esprimemu ancu assai altri cuncetti. Per esempiu, a scala di a mappa mostra quantu hè diminuitu l'area di u paese. Una scala di dui à unu, o simpricimenti 2, sprime u fattu chì qualcosa hè stata doppia in grandezza. Dicemu matematicamente: ogni homogeneità currisponde à un numeru - a so scala.

U compitu. Avemu fattu una copia xerografica, ingrandendu l'imaghjini parechje volte. Allora u frammentu ingrandatu hè statu di novu ingrandatu b volte. Chì ghjè a scala generale di ingrandimentu? Risposta: a × b multiplicate per b. Queste scale anu da esse multiplicate. U numeru "minus one", -1, currisponde à una precisione chì hè centrata, vale à dì rotata 180 gradi. Chì numeru currisponde à una volta di 90 gradi? Ùn ci hè micca un tali numeru. Hè, hè ... o megliu, serà prestu. Sò prontu per a tortura morale? Pigliate curaggiu è pigliate a radica quadrata di minus one. stau à sente ? Chì ùn pudete micca? Dopu tuttu, vi aghju dettu di esse bravu. Tira fora ! Ehi, bè, tira, tirà... Aiuteraghju... Eccu : -1 Avà chì l'avemu, pruvemu à aduprà... Di sicuru, avà pudemu estrae e radiche di tutti i numeri negativi, per esempiu.:

√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1

"Indipendentemente da l'angoscia mentale chì implica". C'est ce qu'écrivait Girolamo Cardano en 1539, essayant de surmonter les difficultés mentales associées à - comme on l'appela bientôt - quantità imaginaria. Hà cunsideratu questi ...

...U compitu. Divide 10 in dui parti, u pruduttu di quale hè 40. Mi ricordu chì da l'episodiu precedente hà scrittu qualcosa cusì: Certamente impussibile. In ogni casu, facemu questu: dividite 10 in dui parti uguali, ognuna uguali à 5. Multiplicà - hè diventatu 25. Da u risultatu 25, avà resta 40, se vulete, è avete -15. Avà fighjate: √-15 aghjuntu è sottrattu da 5 vi dà u pruduttu di 40. Quessi sò i numeri 5-√-15 è 5 + √-15. A verificazione di u risultatu hè stata realizata da Cardano cum'è seguente:

"Indipendentemente da u dolore di u core chì implica, multiplica 5 + √-15 per 5-√-15. Avemu 25 - (-15), chì hè uguali à 25 + 15. Allora, u pruduttu hè 40 .... Hè veramente difficiule ".

Ebbè, quantu hè: (1 + √-1) (1-√-1)? Multiplichemu. Ricurdativi chì √-1 × √-1 = -1. Perfettu. Avà un travagliu più difficiule: da a + b√-1 à ab√-1. Chì hè accadutu? Certamente, cusì: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Chì ci hè interessante di questu? Per esempiu, u fattu chì pudemu factorize espressioni chì "ùn sapemu micca prima". A formula di multiplicazione abbreviata per²-b² Vi ricordate a formula per²+b² ùn era micca, perchè ùn pudia esse. In u duminiu di i numeri veri, u polinomiu²+b² hè inevitabbile. Denotemu "a nostra" radica quadrata di "minus one" cù a lettera i.²= -1. Hè un numeru primu "irreale". È questu hè ciò chì descrive una rotazione di 90 gradi di un aviò. Perchè? Malgradu tuttu,²= -1, è cumminendu una rotazione di 90 gradi è una altra rotazione di 180 gradi dà una rotazione di 45 gradi. Chì tippu di rotazione hè descritta? Ovviamente una volta di XNUMX gradi. Chì significà u -i ? Hè un pocu più complicatu:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1 XNUMX

Allora -i descrive ancu una rotazione di 90 gradi, ghjustu in a direzzione opposta di a rotazione di i. Quale hè manca è quale hè ghjustu ? Duvete fà un appuntamentu. Assumimu chì u numeru i specifica una rotazione in una direzzione chì i matematichi cunsidereghjanu pusitivu: in senso antiorario. U numeru -i descrive a rotazione in a direzzione chì i puntatori si movenu.

Ma i numeri cum'è i è -i esistenu ? Sò! L'avemu appena purtatu à a vita. stau à sente ? Ch'elli esistenu solu in a nostra testa? Ebbè chì aspetta? Tutti l'altri numeri esistenu ancu solu in a nostra mente. Avemu bisognu di vede s'ellu i nostri numeri di i zitelli sopravvive. Più precisamente, se u disignu hè logicu è s'ellu seranu utili per qualcosa. Per piacè pigliate a mo parolla per quessa chì tuttu hè in ordine è chì questi novi numeri sò veramente utili. Numeri cum'è 3+i, 5-7i, più in generale: a+bi sò chjamati numeri cumplessi. Vi aghju dimustratu cumu pudete ottene elli spinning l'aviò. Puderanu esse inseriti in diverse manere: cum'è punti in un pianu, cum'è certi polinomi, cum'è una sorta di matrici numeriche ... è ogni volta sò listessi : l'equazioni x² +1=0 ùn ci hè micca elementu... hocus pocus hè digià !!!! Rallegrimu è rallegrimu !!!

A fine di u tour

Questu cuncludi u nostru primu giru di u paese di numeri falsi. Di l'altri numeri extraterrestri, mencioneraghju ancu quelli chì anu un numeru infinitu di cifre davanti, è micca daretu (si chjamanu 10-adic, per noi p-adic sò più impurtanti, induve p hè un numeru primu), per esempiu X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Contemu X per piacè². Perchè? E se calculemu u quadru di un numeru seguitu da un numeru infinitu di cifre ? Ebbè, femu u listessu. Sapemu chì x² = H.

Truvemu un altru tali numeru cù un nùmeru infinitu di cifre in fronte chì satisface l'equazioni. Cunsigliu : u quadru di un numeru chì finisci in sei finisce ancu in sei. U quatratu di un numeru chì finisci in 76 finisci ancu in 76. U quadru di un numeru chì finisci in 376 finisci ancu in 376. U quatratu di un numeru chì finisci in 9376 finisci ancu in 9376. U quatratu di un numeru chì finisci in XNUMX. XNUMX u ... Ci hè ancu numeri chì sò cusì chjuchi chì, essendu pusitivi, fermanu più chjuchi di qualsiasi altru numeru pusitivu. Sò cusì chjuchi chì qualchì volta basta à quadralli per ottene zero. Ci sò numeri chì ùn satisfanu micca a cundizione a × b = b × a. Ci sò ancu numeri infiniti. Quantu ci sò numeri naturali ? Infinitu parechji ? Iè, ma quantu ? Cumu pò esse spressione cum'è un numeru? Risposta: u più chjucu di numeri infiniti; hè marcatu cù una bella lettera: A è supplementata cù un indice zero A₀ , aleph-zero.

Ci sò ancu numeri chì ùn sapemu micca esistenu... o chì pudete crede o ùn crede cum'è vo vulete. E parlendu di simili: Spergu chì vi piace sempre Numeri Unreal, Numeri di Spezie Fantasia.